Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39706 / 32530
↖ ↑ ↗
← N 66.772420°
W 70.944214°		 ← 120.46 m → N 66.772420°
W 70.941467°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 66.771336°
W 70.944214°		 ← 120.46 m →
14 512 m²		 N 66.771336°
W 70.941467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.302936553955078 y=0.248188018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.302936553955078 × 217)
    floor (0.302936553955078 × 131072)
    floor (39706.5)     		tx = 39706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248188018798828 × 217)
    floor (0.248188018798828 × 131072)
    floor (32530.5)     		ty = 32530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39706 / 32530 ti = "17/39706/32530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39706/32530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39706 ÷ 217
    39706 ÷ 131072     		x = 0.302932739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32530 ÷ 217
    32530 ÷ 131072     		y = 0.248184204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.302932739257812 × 2 - 1) × π
    -0.394134521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.23821012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248184204101562 × 2 - 1) × π
    0.503631591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58220530885957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23821012} λ = -1.23821012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58220530885957))-π/2
    2×atan(4.86567430274892)-π/2
    2×1.36809744778517-π/2
    2.73619489557033-1.57079632675     		φ = 1.16539857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23821012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.944214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16539857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.772420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39706 KachelY 32530 -1.23821012 1.16539857 -70.944214 66.772420
    Oben rechts KachelX + 1 39707 KachelY 32530 -1.23816218 1.16539857 -70.941467 66.772420
    Unten links KachelX 39706 KachelY + 1 32531 -1.23821012 1.16537966 -70.944214 66.771336
    Unten rechts KachelX + 1 39707 KachelY + 1 32531 -1.23816218 1.16537966 -70.941467 66.771336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16539857-1.16537966) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16539857-1.16537966) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23821012--1.23816218) × cos(1.16539857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394384308415873 × 6371000     		do = 120.455119242227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23821012--1.23816218) × cos(1.16537966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39440168560667 × 6371000     		du = 120.460426683586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16539857)-sin(1.16537966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394384308415873-0.39440168560667)×R²
    abs(-1.23816218--1.23821012)×1.73771907970854e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73771907970854e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73771907970854e-05×40589641000000     		ar = 14512.2236774755m²