Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3970 / 5461
↖ ↑ ↗
← N 75.960233°
W136.384277°		 ← 296.36 m → N 75.960233°
W136.373291°		 →
↑
296.44 m
↓
↑
296.44 m
↓
N 75.957567°
W136.384277°		 ← 296.42 m →
87 863 m²		 N 75.957567°
W136.373291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121170043945312 y=0.166671752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121170043945312 × 215)
    floor (0.121170043945312 × 32768)
    floor (3970.5)     		tx = 3970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166671752929688 × 215)
    floor (0.166671752929688 × 32768)
    floor (5461.5)     		ty = 5461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3970 / 5461 ti = "15/3970/5461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3970/5461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3970 ÷ 215
    3970 ÷ 32768     		x = 0.12115478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5461 ÷ 215
    5461 ÷ 32768     		y = 0.166656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12115478515625 × 2 - 1) × π
    -0.7576904296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.38035469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166656494140625 × 2 - 1) × π
    0.66668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09445901819949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38035469} λ = -2.38035469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09445901819949))-π/2
    2×atan(8.12104644331337)-π/2
    2×1.44827624653546-π/2
    2.89655249307093-1.57079632675     		φ = 1.32575617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38035469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32575617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.960233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3970 KachelY 5461 -2.38035469 1.32575617 -136.384277 75.960233
    Oben rechts KachelX + 1 3971 KachelY 5461 -2.38016294 1.32575617 -136.373291 75.960233
    Unten links KachelX 3970 KachelY + 1 5462 -2.38035469 1.32570964 -136.384277 75.957567
    Unten rechts KachelX + 1 3971 KachelY + 1 5462 -2.38016294 1.32570964 -136.373291 75.957567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32575617-1.32570964) × R
    4.65300000001001e-05 × 6371000     		dl = 296.442630000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32575617-1.32570964) × R
    4.65300000001001e-05 × 6371000     		dr = 296.442630000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38035469--2.38016294) × cos(1.32575617) × R
    0.000191749999999935 × 0.242595282198573 × 6371000     		do = 296.363918598502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38035469--2.38016294) × cos(1.32570964) × R
    0.000191749999999935 × 0.242640421972421 × 6371000     		du = 296.419063117972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32575617)-sin(1.32570964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242595282198573-0.242640421972421)×R²
    abs(-2.38016294--2.38035469)×4.51397738485959e-05×R²
    0.000191749999999935×4.51397738485959e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.51397738485959e-05×40589641000000     		ar = 87863.0730761043m²