Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3970 / 2949
↖ ↑ ↗
← N 74.746966°
W 92.768555°		 ← 642.77 m → N 74.746966°
W 92.746582°		 →
↑
642.90 m
↓
↑
642.90 m
↓
N 74.741185°
W 92.768555°		 ← 643 m →
413 310 m²		 N 74.741185°
W 92.746582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242340087890625 y=0.180023193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242340087890625 × 214)
    floor (0.242340087890625 × 16384)
    floor (3970.5)     		tx = 3970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.180023193359375 × 214)
    floor (0.180023193359375 × 16384)
    floor (2949.5)     		ty = 2949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3970 / 2949 ti = "14/3970/2949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3970/2949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3970 ÷ 214
    3970 ÷ 16384     		x = 0.2423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2949 ÷ 214
    2949 ÷ 16384     		y = 0.17999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.61911672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17999267578125 × 2 - 1) × π
    0.6400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.01066531766364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61911672} λ = -1.61911672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01066531766364))-π/2
    2×atan(7.4682844763558)-π/2
    2×1.43768850027829-π/2
    2.87537700055658-1.57079632675     		φ = 1.30458067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61911672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.768555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30458067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.746966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3970 KachelY 2949 -1.61911672 1.30458067 -92.768555 74.746966
    Oben rechts KachelX + 1 3971 KachelY 2949 -1.61873323 1.30458067 -92.746582 74.746966
    Unten links KachelX 3970 KachelY + 1 2950 -1.61911672 1.30447976 -92.768555 74.741185
    Unten rechts KachelX + 1 3971 KachelY + 1 2950 -1.61873323 1.30447976 -92.746582 74.741185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30458067-1.30447976) × R
    0.00010091000000001 × 6371000     		dl = 642.897610000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30458067-1.30447976) × R
    0.00010091000000001 × 6371000     		dr = 642.897610000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61911672--1.61873323) × cos(1.30458067) × R
    0.000383490000000153 × 0.263082295589414 × 6371000     		do = 642.766555571463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61911672--1.61873323) × cos(1.30447976) × R
    0.000383490000000153 × 0.263179649533184 × 6371000     		du = 643.004412166748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30458067)-sin(1.30447976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.263082295589414-0.263179649533184)×R²
    abs(-1.61873323--1.61911672)×9.73539437704174e-05×R²
    0.000383490000000153×9.73539437704174e-05×6371000²
    0.000383490000000153×9.73539437704174e-05×40589641000000     		ar = 413309.54143344m²