Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3970 / 2942
↖ ↑ ↗
← N 74.787379°
W 92.768555°		 ← 641.10 m → N 74.787379°
W 92.746582°		 →
↑
641.24 m
↓
↑
641.24 m
↓
N 74.781612°
W 92.768555°		 ← 641.34 m →
411 178 m²		 N 74.781612°
W 92.746582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242340087890625 y=0.179595947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242340087890625 × 214)
    floor (0.242340087890625 × 16384)
    floor (3970.5)     		tx = 3970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179595947265625 × 214)
    floor (0.179595947265625 × 16384)
    floor (2942.5)     		ty = 2942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3970 / 2942 ti = "14/3970/2942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3970/2942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3970 ÷ 214
    3970 ÷ 16384     		x = 0.2423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2942 ÷ 214
    2942 ÷ 16384     		y = 0.1795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.61911672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1795654296875 × 2 - 1) × π
    0.640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.01334978404236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61911672} λ = -1.61911672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01334978404236))-π/2
    2×atan(7.48835976860705)-π/2
    2×1.43804116115715-π/2
    2.87608232231431-1.57079632675     		φ = 1.30528600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61911672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.768555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30528600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.787379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3970 KachelY 2942 -1.61911672 1.30528600 -92.768555 74.787379
    Oben rechts KachelX + 1 3971 KachelY 2942 -1.61873323 1.30528600 -92.746582 74.787379
    Unten links KachelX 3970 KachelY + 1 2943 -1.61911672 1.30518535 -92.768555 74.781612
    Unten rechts KachelX + 1 3971 KachelY + 1 2943 -1.61873323 1.30518535 -92.746582 74.781612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30528600-1.30518535) × R
    0.000100650000000035 × 6371000     		dl = 641.241150000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30528600-1.30518535) × R
    0.000100650000000035 × 6371000     		dr = 641.241150000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61911672--1.61873323) × cos(1.30528600) × R
    0.000383490000000153 × 0.262401746585935 × 6371000     		do = 641.103828180845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61911672--1.61873323) × cos(1.30518535) × R
    0.000383490000000153 × 0.262498868351406 × 6371000     		du = 641.341117514675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30528600)-sin(1.30518535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262401746585935-0.262498868351406)×R²
    abs(-1.61873323--1.61911672)×9.71217654709422e-05×R²
    0.000383490000000153×9.71217654709422e-05×6371000²
    0.000383490000000153×9.71217654709422e-05×40589641000000     		ar = 411178.236242391m²