Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 397 / 375
↖ ↑ ↗
← S 63.860036°
E 99.140625°		 ← 34.445 km → S 63.860036°
E 99.843750°		 →
↑
34.256 km
↓
↑
34.256 km
↓
S 64.168107°
E 99.140625°		 ← 34.067 km →
1 173.48 km²		 S 64.168107°
E 99.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7763671875 y=0.7333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7763671875 × 29)
    floor (0.7763671875 × 512)
    floor (397.5)     		tx = 397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7333984375 × 29)
    floor (0.7333984375 × 512)
    floor (375.5)     		ty = 375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 397 / 375 ti = "9/397/375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/397/375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 397 ÷ 29
    397 ÷ 512     		x = 0.775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 375 ÷ 29
    375 ÷ 512     		y = 0.732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775390625 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732421875 × 2 - 1) × π
    -0.46484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46034971002539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73033033} λ = 1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46034971002539))-π/2
    2×atan(0.232155073575483)-π/2
    2×0.228114219998436-π/2
    0.456228439996872-1.57079632675     		φ = -1.11456789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11456789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.860036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 397 KachelY 375 1.73033033 -1.11456789 99.140625 -63.860036
    Oben rechts KachelX + 1 398 KachelY 375 1.74260217 -1.11456789 99.843750 -63.860036
    Unten links KachelX 397 KachelY + 1 376 1.73033033 -1.11994474 99.140625 -64.168107
    Unten rechts KachelX + 1 398 KachelY + 1 376 1.74260217 -1.11994474 99.843750 -64.168107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11456789--1.11994474) × R
    0.00537684999999999 × 6371000     		dl = 34255.9113499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11456789--1.11994474) × R
    0.00537684999999999 × 6371000     		dr = 34255.9113499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73033033-1.74260217) × cos(-1.11456789) × R
    0.0122718400000001 × 0.44056543883997 × 6371000     		do = 34445.1209711591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73033033-1.74260217) × cos(-1.11994474) × R
    0.0122718400000001 × 0.435732185161907 × 6371000     		du = 34067.2383844915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11456789)-sin(-1.11994474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44056543883997-0.435732185161907)×R²
    abs(1.74260217-1.73033033)×0.00483325367806298×R²
    0.0122718400000001×0.00483325367806298×6371000²
    0.0122718400000001×0.00483325367806298×40589641000000     		ar = 1173479481.39271m²