Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3969 / 5458
↖ ↑ ↗
← N 75.968227°
W136.395264°		 ← 296.20 m → N 75.968227°
W136.384277°		 →
↑
296.25 m
↓
↑
296.25 m
↓
N 75.965562°
W136.395264°		 ← 296.25 m →
87 757 m²		 N 75.965562°
W136.384277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.121139526367188 y=0.166580200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.121139526367188 × 215)
    floor (0.121139526367188 × 32768)
    floor (3969.5)     		tx = 3969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166580200195312 × 215)
    floor (0.166580200195312 × 32768)
    floor (5458.5)     		ty = 5458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3969 / 5458 ti = "15/3969/5458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3969/5458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3969 ÷ 215
    3969 ÷ 32768     		x = 0.121124267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5458 ÷ 215
    5458 ÷ 32768     		y = 0.16656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.121124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.75775146484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38054644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16656494140625 × 2 - 1) × π
    0.6668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09503426099493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38054644} λ = -2.38054644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09503426099493))-π/2
    2×atan(8.12571936067349)-π/2
    2×1.4483460026646-π/2
    2.8966920053292-1.57079632675     		φ = 1.32589568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38054644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.395264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32589568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.968227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3969 KachelY 5458 -2.38054644 1.32589568 -136.395264 75.968227
    Oben rechts KachelX + 1 3970 KachelY 5458 -2.38035469 1.32589568 -136.384277 75.968227
    Unten links KachelX 3969 KachelY + 1 5459 -2.38054644 1.32584918 -136.395264 75.965562
    Unten rechts KachelX + 1 3970 KachelY + 1 5459 -2.38035469 1.32584918 -136.384277 75.965562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32589568-1.32584918) × R
    4.64999999998383e-05 × 6371000     		dl = 296.25149999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32589568-1.32584918) × R
    4.64999999998383e-05 × 6371000     		dr = 296.25149999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38054644--2.38035469) × cos(1.32589568) × R
    0.000191749999999935 × 0.24245993733896 × 6371000     		do = 296.198576005714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38054644--2.38035469) × cos(1.32584918) × R
    0.000191749999999935 × 0.242505049582795 × 6371000     		du = 296.253686893438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32589568)-sin(1.32584918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24245993733896-0.242505049582795)×R²
    abs(-2.38035469--2.38054644)×4.51122438344664e-05×R²
    0.000191749999999935×4.51122438344664e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.51122438344664e-05×40589641000000     		ar = 87757.4357966292m²