Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3969 / 4478
↖ ↑ ↗
← S 16.551962°
W  5.581055°		 ← 4 684.01 m → S 16.551962°
W  5.537109°		 →
↑
4 683.51 m
↓
↑
4 683.51 m
↓
S 16.594082°
W  5.581055°		 ← 4 682.98 m →
21 935 204 m²		 S 16.594082°
W  5.537109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48455810546875 y=0.54669189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48455810546875 × 213)
    floor (0.48455810546875 × 8192)
    floor (3969.5)     		tx = 3969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.54669189453125 × 213)
    floor (0.54669189453125 × 8192)
    floor (4478.5)     		ty = 4478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3969 / 4478 ti = "13/3969/4478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3969/4478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3969 ÷ 213
    3969 ÷ 8192     		x = 0.4844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4478 ÷ 213
    4478 ÷ 8192     		y = 0.546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09740778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.09326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.292990330477783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09740778} λ = -0.09740778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292990330477783))-π/2
    2×atan(0.746029354409762)-π/2
    2×0.640955048545217-π/2
    1.28191009709043-1.57079632675     		φ = -0.28888623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09740778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.581055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28888623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.551962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3969 KachelY 4478 -0.09740778 -0.28888623 -5.581055 -16.551962
    Oben rechts KachelX + 1 3970 KachelY 4478 -0.09664079 -0.28888623 -5.537109 -16.551962
    Unten links KachelX 3969 KachelY + 1 4479 -0.09740778 -0.28962136 -5.581055 -16.594082
    Unten rechts KachelX + 1 3970 KachelY + 1 4479 -0.09664079 -0.28962136 -5.537109 -16.594082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28888623--0.28962136) × R
    0.000735129999999973 × 6371000     		dl = 4683.51322999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28888623--0.28962136) × R
    0.000735129999999973 × 6371000     		dr = 4683.51322999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09740778--0.09664079) × cos(-0.28888623) × R
    0.000766989999999995 × 0.958561766113755 × 6371000     		do = 4684.00563816538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09740778--0.09664079) × cos(-0.28962136) × R
    0.000766989999999995 × 0.958352079769751 × 6371000     		du = 4682.9810072524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28888623)-sin(-0.28962136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958561766113755-0.958352079769751)×R²
    abs(-0.09664079--0.09740778)×0.000209686344004312×R²
    0.000766989999999995×0.000209686344004312×6371000²
    0.000766989999999995×0.000209686344004312×40589641000000     		ar = 21935203.9273685m²