Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39682 / 29442
↖ ↑ ↗
← N 69.898230°
W 71.010132°		 ← 104.95 m → N 69.898230°
W 71.007385°		 →
↑
104.93 m
↓
↑
104.93 m
↓
N 69.897286°
W 71.010132°		 ← 104.95 m →
11 013 m²		 N 69.897286°
W 71.007385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.302753448486328 y=0.224628448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.302753448486328 × 217)
    floor (0.302753448486328 × 131072)
    floor (39682.5)     		tx = 39682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224628448486328 × 217)
    floor (0.224628448486328 × 131072)
    floor (29442.5)     		ty = 29442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39682 / 29442 ti = "17/39682/29442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39682/29442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39682 ÷ 217
    39682 ÷ 131072     		x = 0.302749633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29442 ÷ 217
    29442 ÷ 131072     		y = 0.224624633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.302749633789062 × 2 - 1) × π
    -0.394500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.23936060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224624633789062 × 2 - 1) × π
    0.550750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73023445488631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23936060} λ = -1.23936060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73023445488631))-π/2
    2×atan(5.64197654234205)-π/2
    2×1.39537528881795-π/2
    2.7907505776359-1.57079632675     		φ = 1.21995425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23936060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.010132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21995425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.898230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39682 KachelY 29442 -1.23936060 1.21995425 -71.010132 69.898230
    Oben rechts KachelX + 1 39683 KachelY 29442 -1.23931267 1.21995425 -71.007385 69.898230
    Unten links KachelX 39682 KachelY + 1 29443 -1.23936060 1.21993778 -71.010132 69.897286
    Unten rechts KachelX + 1 39683 KachelY + 1 29443 -1.23931267 1.21993778 -71.007385 69.897286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21995425-1.21993778) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dl = 104.930370000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21995425-1.21993778) × R
    1.64700000000462e-05 × 6371000     		dr = 104.930370000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23936060--1.23931267) × cos(1.21995425) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343688709751948 × 6371000     		do = 104.949482098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23936060--1.23931267) × cos(1.21993778) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343704176412777 × 6371000     		du = 104.954205028948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21995425)-sin(1.21993778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343688709751948-0.343704176412777)×R²
    abs(-1.23931267--1.23936060)×1.54666608291332e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54666608291332e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54666608291332e-05×40589641000000     		ar = 11012.6357776361m²