Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39681 / 29441
↖ ↑ ↗
← N 69.899174°
W 71.012878°		 ← 104.97 m → N 69.899174°
W 71.010132°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
N 69.898230°
W 71.012878°		 ← 104.97 m →
11 021 m²		 N 69.898230°
W 71.010132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.302745819091797 y=0.224620819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.302745819091797 × 217)
    floor (0.302745819091797 × 131072)
    floor (39681.5)     		tx = 39681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224620819091797 × 217)
    floor (0.224620819091797 × 131072)
    floor (29441.5)     		ty = 29441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39681 / 29441 ti = "17/39681/29441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39681/29441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39681 ÷ 217
    39681 ÷ 131072     		x = 0.302742004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29441 ÷ 217
    29441 ÷ 131072     		y = 0.224617004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.302742004394531 × 2 - 1) × π
    -0.394515991210938 × 3.1415926535     		Λ = -1.23940854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224617004394531 × 2 - 1) × π
    0.550765991210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.73028239178593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23940854} λ = -1.23940854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73028239178593))-π/2
    2×atan(5.6422470076878)-π/2
    2×1.39538352631811-π/2
    2.79076705263621-1.57079632675     		φ = 1.21997073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23940854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.012878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21997073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.899174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39681 KachelY 29441 -1.23940854 1.21997073 -71.012878 69.899174
    Oben rechts KachelX + 1 39682 KachelY 29441 -1.23936060 1.21997073 -71.010132 69.899174
    Unten links KachelX 39681 KachelY + 1 29442 -1.23940854 1.21995425 -71.012878 69.898230
    Unten rechts KachelX + 1 39682 KachelY + 1 29442 -1.23936060 1.21995425 -71.010132 69.898230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21997073-1.21995425) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21997073-1.21995425) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23940854--1.23936060) × cos(1.21997073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343673233606996 × 6371000     		do = 104.966651692541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23940854--1.23936060) × cos(1.21995425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343688709751948 × 6371000     		du = 104.971378505565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21997073)-sin(1.21995425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343673233606996-0.343688709751948)×R²
    abs(-1.23936060--1.23940854)×1.5476144951343e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5476144951343e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5476144951343e-05×40589641000000     		ar = 11021.1251690838m²