Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 39680 / 21247
↖ ↑ ↗
← N 76.352544°
W 71.015625°		 ← 72.06 m → N 76.352544°
W 71.012878°		 →
↑
72.06 m
↓
↑
72.06 m
↓
N 76.351896°
W 71.015625°		 ← 72.07 m →
5 193 m²		 N 76.351896°
W 71.012878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.302738189697266 y=0.162105560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.302738189697266 × 217)
    floor (0.302738189697266 × 131072)
    floor (39680.5)     		tx = 39680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162105560302734 × 217)
    floor (0.162105560302734 × 131072)
    floor (21247.5)     		ty = 21247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39680 / 21247 ti = "17/39680/21247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39680/21247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39680 ÷ 217
    39680 ÷ 131072     		x = 0.302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21247 ÷ 217
    21247 ÷ 131072     		y = 0.162101745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.302734375 × 2 - 1) × π
    -0.39453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.23945648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162101745605469 × 2 - 1) × π
    0.675796508789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.12307734727267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23945648} λ = -1.23945648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12307734727267))-π/2
    2×atan(8.35681477962199)-π/2
    2×1.4516998102398-π/2
    2.90339962047959-1.57079632675     		φ = 1.33260329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23945648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33260329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.352544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39680 KachelY 21247 -1.23945648 1.33260329 -71.015625 76.352544
    Oben rechts KachelX + 1 39681 KachelY 21247 -1.23940854 1.33260329 -71.012878 76.352544
    Unten links KachelX 39680 KachelY + 1 21248 -1.23945648 1.33259198 -71.015625 76.351896
    Unten rechts KachelX + 1 39681 KachelY + 1 21248 -1.23940854 1.33259198 -71.012878 76.351896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33260329-1.33259198) × R
    1.13100000000976e-05 × 6371000     		dl = 72.056010000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33260329-1.33259198) × R
    1.13100000000976e-05 × 6371000     		dr = 72.056010000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23945648--1.23940854) × cos(1.33260329) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.235947067338775 × 6371000     		do = 72.0643076430619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23945648--1.23940854) × cos(1.33259198) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.235958057996113 × 6371000     		du = 72.0676644727122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33260329)-sin(1.33259198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235947067338775-0.235958057996113)×R²
    abs(-1.23940854--1.23945648)×1.09906573371454e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.09906573371454e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.09906573371454e-05×40589641000000     		ar = 5192.78741222269m²