Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3968 / 2432
↖ ↑ ↗
← N 77.466029°
W 92.812500°		 ← 530.22 m → N 77.466029°
W 92.790528°		 →
↑
530.39 m
↓
↑
530.39 m
↓
N 77.461259°
W 92.812500°		 ← 530.42 m →
281 275 m²		 N 77.461259°
W 92.790528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242218017578125 y=0.148468017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242218017578125 × 214)
    floor (0.242218017578125 × 16384)
    floor (3968.5)     		tx = 3968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148468017578125 × 214)
    floor (0.148468017578125 × 16384)
    floor (2432.5)     		ty = 2432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3968 / 2432 ti = "14/3968/2432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3968/2432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3968 ÷ 214
    3968 ÷ 16384     		x = 0.2421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2432 ÷ 214
    2432 ÷ 16384     		y = 0.1484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2421875 × 2 - 1) × π
    -0.515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.61988371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1484375 × 2 - 1) × π
    0.703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61988371} λ = -1.61988371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20893233449219))-π/2
    2×atan(9.10598905076639)-π/2
    2×1.46141679107316-π/2
    2.92283358214632-1.57079632675     		φ = 1.35203726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61988371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35203726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3968 KachelY 2432 -1.61988371 1.35203726 -92.812500 77.466029
    Oben rechts KachelX + 1 3969 KachelY 2432 -1.61950022 1.35203726 -92.790528 77.466029
    Unten links KachelX 3968 KachelY + 1 2433 -1.61988371 1.35195401 -92.812500 77.461259
    Unten rechts KachelX + 1 3969 KachelY + 1 2433 -1.61950022 1.35195401 -92.790528 77.461259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35203726-1.35195401) × R
    8.32499999998682e-05 × 6371000     		dl = 530.38574999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35203726-1.35195401) × R
    8.32499999998682e-05 × 6371000     		dr = 530.38574999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61988371--1.61950022) × cos(1.35203726) × R
    0.000383490000000153 × 0.217018431814494 × 6371000     		do = 530.22264231199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61988371--1.61950022) × cos(1.35195401) × R
    0.000383490000000153 × 0.217099697007265 × 6371000     		du = 530.421190632881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35203726)-sin(1.35195401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217018431814494-0.217099697007265)×R²
    abs(-1.61950022--1.61988371)×8.12651927711849e-05×R²
    0.000383490000000153×8.12651927711849e-05×6371000²
    0.000383490000000153×8.12651927711849e-05×40589641000000     		ar = 281275.187571934m²