Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39678 / 21249
↖ ↑ ↗
← N 76.351248°
W 71.021118°		 ← 72.07 m → N 76.351248°
W 71.018371°		 →
↑
72.06 m
↓
↑
72.06 m
↓
N 76.350600°
W 71.021118°		 ← 72.07 m →
5 193 m²		 N 76.350600°
W 71.018371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.302722930908203 y=0.162120819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.302722930908203 × 217)
    floor (0.302722930908203 × 131072)
    floor (39678.5)     		tx = 39678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162120819091797 × 217)
    floor (0.162120819091797 × 131072)
    floor (21249.5)     		ty = 21249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39678 / 21249 ti = "17/39678/21249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39678/21249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39678 ÷ 217
    39678 ÷ 131072     		x = 0.302719116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21249 ÷ 217
    21249 ÷ 131072     		y = 0.162117004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.302719116210938 × 2 - 1) × π
    -0.394561767578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.23955235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162117004394531 × 2 - 1) × π
    0.675765991210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.12298147347343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23955235} λ = -1.23955235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12298147347343))-π/2
    2×atan(8.35601361844532)-π/2
    2×1.45168849914218-π/2
    2.90337699828437-1.57079632675     		φ = 1.33258067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23955235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.021118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33258067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.351248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39678 KachelY 21249 -1.23955235 1.33258067 -71.021118 76.351248
    Oben rechts KachelX + 1 39679 KachelY 21249 -1.23950441 1.33258067 -71.018371 76.351248
    Unten links KachelX 39678 KachelY + 1 21250 -1.23955235 1.33256936 -71.021118 76.350600
    Unten rechts KachelX + 1 39679 KachelY + 1 21250 -1.23950441 1.33256936 -71.018371 76.350600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33258067-1.33256936) × R
    1.13100000000976e-05 × 6371000     		dl = 72.056010000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33258067-1.33256936) × R
    1.13100000000976e-05 × 6371000     		dr = 72.056010000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23955235--1.23950441) × cos(1.33258067) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.235969048623267 × 6371000     		do = 72.0710212931438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23955235--1.23950441) × cos(1.33256936) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.235980039220237 × 6371000     		du = 72.0743781043564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33258067)-sin(1.33256936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235969048623267-0.235980039220237)×R²
    abs(-1.23950441--1.23955235)×1.0990596970073e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.0990596970073e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.0990596970073e-05×40589641000000     		ar = 5193.27117046754m²