Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39677 / 21250
↖ ↑ ↗
← N 76.350600°
W 71.023865°		 ← 72.07 m → N 76.350600°
W 71.021118°		 →
↑
72.06 m
↓
↑
72.06 m
↓
N 76.349952°
W 71.023865°		 ← 72.08 m →
5 194 m²		 N 76.349952°
W 71.021118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.302715301513672 y=0.162128448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.302715301513672 × 217)
    floor (0.302715301513672 × 131072)
    floor (39677.5)     		tx = 39677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162128448486328 × 217)
    floor (0.162128448486328 × 131072)
    floor (21250.5)     		ty = 21250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39677 / 21250 ti = "17/39677/21250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39677/21250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39677 ÷ 217
    39677 ÷ 131072     		x = 0.302711486816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21250 ÷ 217
    21250 ÷ 131072     		y = 0.162124633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.302711486816406 × 2 - 1) × π
    -0.394577026367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.23960029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162124633789062 × 2 - 1) × π
    0.675750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12293353657381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23960029} λ = -1.23960029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12293353657381))-π/2
    2×atan(8.35561306665995)-π/2
    2×1.45168284319818-π/2
    2.90336568639637-1.57079632675     		φ = 1.33256936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23960029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.023865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33256936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.350600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39677 KachelY 21250 -1.23960029 1.33256936 -71.023865 76.350600
    Oben rechts KachelX + 1 39678 KachelY 21250 -1.23955235 1.33256936 -71.021118 76.350600
    Unten links KachelX 39677 KachelY + 1 21251 -1.23960029 1.33255805 -71.023865 76.349952
    Unten rechts KachelX + 1 39678 KachelY + 1 21251 -1.23955235 1.33255805 -71.021118 76.349952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33256936-1.33255805) × R
    1.13099999998756e-05 × 6371000     		dl = 72.0560099992074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33256936-1.33255805) × R
    1.13099999998756e-05 × 6371000     		dr = 72.0560099992074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23960029--1.23955235) × cos(1.33256936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235980039220237 × 6371000     		do = 72.0743781040226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23960029--1.23955235) × cos(1.33255805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235991029787021 × 6371000     		du = 72.0777349060157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33256936)-sin(1.33255805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235980039220237-0.235991029787021)×R²
    abs(-1.23955235--1.23960029)×1.09905667842192e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09905667842192e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09905667842192e-05×40589641000000     		ar = 5193.5130482697m²