Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39665 / 21263
↖ ↑ ↗
← N 76.342172°
W 71.056824°		 ← 72.12 m → N 76.342172°
W 71.054077°		 →
↑
72.12 m
↓
↑
72.12 m
↓
N 76.341523°
W 71.056824°		 ← 72.12 m →
5 201 m²		 N 76.341523°
W 71.054077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.302623748779297 y=0.162227630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.302623748779297 × 217)
    floor (0.302623748779297 × 131072)
    floor (39665.5)     		tx = 39665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162227630615234 × 217)
    floor (0.162227630615234 × 131072)
    floor (21263.5)     		ty = 21263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39665 / 21263 ti = "17/39665/21263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39665/21263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39665 ÷ 217
    39665 ÷ 131072     		x = 0.302619934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21263 ÷ 217
    21263 ÷ 131072     		y = 0.162223815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.302619934082031 × 2 - 1) × π
    -0.394760131835938 × 3.1415926535     		Λ = -1.24017553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162223815917969 × 2 - 1) × π
    0.675552368164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.12231035687875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.24017553} λ = -1.24017553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12231035687875))-π/2
    2×atan(8.35040764038347)-π/2
    2×1.45160929194556-π/2
    2.90321858389112-1.57079632675     		φ = 1.33242226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.24017553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.056824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33242226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.342172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39665 KachelY 21263 -1.24017553 1.33242226 -71.056824 76.342172
    Oben rechts KachelX + 1 39666 KachelY 21263 -1.24012759 1.33242226 -71.054077 76.342172
    Unten links KachelX 39665 KachelY + 1 21264 -1.24017553 1.33241094 -71.056824 76.341523
    Unten rechts KachelX + 1 39666 KachelY + 1 21264 -1.24012759 1.33241094 -71.054077 76.341523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33242226-1.33241094) × R
    1.13200000000369e-05 × 6371000     		dl = 72.1197200002348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33242226-1.33241094) × R
    1.13200000000369e-05 × 6371000     		dr = 72.1197200002348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.24017553--1.24012759) × cos(1.33242226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236122982254064 × 6371000     		do = 72.118036585907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.24017553--1.24012759) × cos(1.33241094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236133982145325 × 6371000     		du = 72.1213962358354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33242226)-sin(1.33241094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236122982254064-0.236133982145325)×R²
    abs(-1.24012759--1.24017553)×1.09998912611597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09998912611597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09998912611597e-05×40589641000000     		ar = 5201.25375397531m²