Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39664 / 21264
↖ ↑ ↗
← N 76.341523°
W 71.059570°		 ← 72.12 m → N 76.341523°
W 71.056824°		 →
↑
72.12 m
↓
↑
72.12 m
↓
N 76.340875°
W 71.059570°		 ← 72.12 m →
5 201 m²		 N 76.340875°
W 71.056824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.302616119384766 y=0.162235260009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.302616119384766 × 217)
    floor (0.302616119384766 × 131072)
    floor (39664.5)     		tx = 39664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162235260009766 × 217)
    floor (0.162235260009766 × 131072)
    floor (21264.5)     		ty = 21264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39664 / 21264 ti = "17/39664/21264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39664/21264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39664 ÷ 217
    39664 ÷ 131072     		x = 0.3026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21264 ÷ 217
    21264 ÷ 131072     		y = 0.1622314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3026123046875 × 2 - 1) × π
    -0.394775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.24022347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1622314453125 × 2 - 1) × π
    0.675537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12226241997913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.24022347} λ = -1.24022347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12226241997913))-π/2
    2×atan(8.35000735732486)-π/2
    2×1.45160363231183-π/2
    2.90320726462366-1.57079632675     		φ = 1.33241094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.24022347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33241094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.341523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39664 KachelY 21264 -1.24022347 1.33241094 -71.059570 76.341523
    Oben rechts KachelX + 1 39665 KachelY 21264 -1.24017553 1.33241094 -71.056824 76.341523
    Unten links KachelX 39664 KachelY + 1 21265 -1.24022347 1.33239962 -71.059570 76.340875
    Unten rechts KachelX + 1 39665 KachelY + 1 21265 -1.24017553 1.33239962 -71.056824 76.340875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33241094-1.33239962) × R
    1.13200000000369e-05 × 6371000     		dl = 72.1197200002348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33241094-1.33239962) × R
    1.13200000000369e-05 × 6371000     		dr = 72.1197200002348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.24022347--1.24017553) × cos(1.33241094) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.236133982145325 × 6371000     		do = 72.1213962361695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.24022347--1.24017553) × cos(1.33239962) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.236144982006327 × 6371000     		du = 72.124755876856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33241094)-sin(1.33239962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236133982145325-0.236144982006327)×R²
    abs(-1.24017553--1.24022347)×1.0999861002392e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.0999861002392e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.0999861002392e-05×40589641000000     		ar = 5201.49605093289m²