Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3964 / 2673
↖ ↑ ↗
← S 48.048710°
E168.398438°		 ← 6 533.23 m → S 48.048710°
E168.486328°		 →
↑
6 529.51 m
↓
↑
6 529.51 m
↓
S 48.107431°
E168.398438°		 ← 6 525.78 m →
42 634 451 m²		 S 48.107431°
E168.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9678955078125 y=0.6527099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9678955078125 × 212)
    floor (0.9678955078125 × 4096)
    floor (3964.5)     		tx = 3964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6527099609375 × 212)
    floor (0.6527099609375 × 4096)
    floor (2673.5)     		ty = 2673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3964 / 2673 ti = "12/3964/2673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3964/2673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3964 ÷ 212
    3964 ÷ 4096     		x = 0.9677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2673 ÷ 212
    2673 ÷ 4096     		y = 0.652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9677734375 × 2 - 1) × π
    0.935546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.93910719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.30517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93910719} λ = 2.93910719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958737992401123))-π/2
    2×atan(0.383376404744776)-π/2
    2×0.366094068487052-π/2
    0.732188136974103-1.57079632675     		φ = -0.83860819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93910719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83860819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.048710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3964 KachelY 2673 2.93910719 -0.83860819 168.398438 -48.048710
    Oben rechts KachelX + 1 3965 KachelY 2673 2.94064117 -0.83860819 168.486328 -48.048710
    Unten links KachelX 3964 KachelY + 1 2674 2.93910719 -0.83963307 168.398438 -48.107431
    Unten rechts KachelX + 1 3965 KachelY + 1 2674 2.94064117 -0.83963307 168.486328 -48.107431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83860819--0.83963307) × R
    0.00102488000000001 × 6371000     		dl = 6529.51048000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83860819--0.83963307) × R
    0.00102488000000001 × 6371000     		dr = 6529.51048000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93910719-2.94064117) × cos(-0.83860819) × R
    0.00153398000000005 × 0.668498580764785 × 6371000     		do = 6533.22765856348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93910719-2.94064117) × cos(-0.83963307) × R
    0.00153398000000005 × 0.667736012802383 × 6371000     		du = 6525.7750921006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83860819)-sin(-0.83963307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668498580764785-0.667736012802383)×R²
    abs(2.94064117-2.93910719)×0.000762567962401373×R²
    0.00153398000000005×0.000762567962401373×6371000²
    0.00153398000000005×0.000762567962401373×40589641000000     		ar = 42634451.3912644m²