Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3963 / 4699
↖ ↑ ↗
← S 25.601902°
W  5.844726°		 ← 4 406.73 m → S 25.601902°
W  5.800781°		 →
↑
4 405.99 m
↓
↑
4 405.99 m
↓
S 25.641526°
W  5.844726°		 ← 4 405.27 m →
19 412 794 m²		 S 25.641526°
W  5.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48382568359375 y=0.57366943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48382568359375 × 213)
    floor (0.48382568359375 × 8192)
    floor (3963.5)     		tx = 3963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57366943359375 × 213)
    floor (0.57366943359375 × 8192)
    floor (4699.5)     		ty = 4699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3963 / 4699 ti = "13/3963/4699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3963/4699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3963 ÷ 213
    3963 ÷ 8192     		x = 0.4837646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4699 ÷ 213
    4699 ÷ 8192     		y = 0.5736083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4837646484375 × 2 - 1) × π
    -0.032470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10200972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5736083984375 × 2 - 1) × π
    -0.147216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.462495207534302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10200972} λ = -0.10200972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462495207534302))-π/2
    2×atan(0.629710425369992)-π/2
    2×0.561979418788284-π/2
    1.12395883757657-1.57079632675     		φ = -0.44683749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10200972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.844726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44683749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.601902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3963 KachelY 4699 -0.10200972 -0.44683749 -5.844726 -25.601902
    Oben rechts KachelX + 1 3964 KachelY 4699 -0.10124273 -0.44683749 -5.800781 -25.601902
    Unten links KachelX 3963 KachelY + 1 4700 -0.10200972 -0.44752906 -5.844726 -25.641526
    Unten rechts KachelX + 1 3964 KachelY + 1 4700 -0.10124273 -0.44752906 -5.800781 -25.641526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44683749--0.44752906) × R
    0.000691569999999975 × 6371000     		dl = 4405.99246999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44683749--0.44752906) × R
    0.000691569999999975 × 6371000     		dr = 4405.99246999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10200972--0.10124273) × cos(-0.44683749) × R
    0.000766989999999995 × 0.901818180017623 × 6371000     		do = 4406.7284854561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10200972--0.10124273) × cos(-0.44752906) × R
    0.000766989999999995 × 0.901519126137334 × 6371000     		du = 4405.26716067672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44683749)-sin(-0.44752906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901818180017623-0.901519126137334)×R²
    abs(-0.10124273--0.10200972)×0.000299053880289168×R²
    0.000766989999999995×0.000299053880289168×6371000²
    0.000766989999999995×0.000299053880289168×40589641000000     		ar = 19412794.0049779m²