Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3963 / 2681
↖ ↑ ↗
← S 48.516604°
E168.310547°		 ← 6 473.66 m → S 48.516604°
E168.398438°		 →
↑
6 469.94 m
↓
↑
6 469.94 m
↓
S 48.574790°
E168.310547°		 ← 6 466.22 m →
41 860 113 m²		 S 48.574790°
E168.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9676513671875 y=0.6546630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9676513671875 × 212)
    floor (0.9676513671875 × 4096)
    floor (3963.5)     		tx = 3963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6546630859375 × 212)
    floor (0.6546630859375 × 4096)
    floor (2681.5)     		ty = 2681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3963 / 2681 ti = "12/3963/2681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3963/2681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3963 ÷ 212
    3963 ÷ 4096     		x = 0.967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2681 ÷ 212
    2681 ÷ 4096     		y = 0.654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967529296875 × 2 - 1) × π
    0.93505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.93757321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.30908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.971009838703857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93757321} λ = 2.93757321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971009838703857))-π/2
    2×atan(0.378700418604051)-π/2
    2×0.362010919519072-π/2
    0.724021839038143-1.57079632675     		φ = -0.84677449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93757321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84677449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.516604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3963 KachelY 2681 2.93757321 -0.84677449 168.310547 -48.516604
    Oben rechts KachelX + 1 3964 KachelY 2681 2.93910719 -0.84677449 168.398438 -48.516604
    Unten links KachelX 3963 KachelY + 1 2682 2.93757321 -0.84779002 168.310547 -48.574790
    Unten rechts KachelX + 1 3964 KachelY + 1 2682 2.93910719 -0.84779002 168.398438 -48.574790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84677449--0.84779002) × R
    0.00101552999999999 × 6371000     		dl = 6469.94162999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84677449--0.84779002) × R
    0.00101552999999999 × 6371000     		dr = 6469.94162999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93757321-2.93910719) × cos(-0.84677449) × R
    0.00153398000000005 × 0.662402970941446 × 6371000     		do = 6473.65534556307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93757321-2.93910719) × cos(-0.84779002) × R
    0.00153398000000005 × 0.661641847521221 × 6371000     		du = 6466.21689659149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84677449)-sin(-0.84779002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662402970941446-0.661641847521221)×R²
    abs(2.93910719-2.93757321)×0.000761123420225052×R²
    0.00153398000000005×0.000761123420225052×6371000²
    0.00153398000000005×0.000761123420225052×40589641000000     		ar = 41860112.6507253m²