Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 39617 / 39487
↖ ↑ ↗
← N 57.986264°
W 71.188660°		 ← 161.91 m → N 57.986264°
W 71.185913°		 →
↑
161.89 m
↓
↑
161.89 m
↓
N 57.984808°
W 71.188660°		 ← 161.92 m →
26 212 m²		 N 57.984808°
W 71.185913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.302257537841797 y=0.301265716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.302257537841797 × 217)
    floor (0.302257537841797 × 131072)
    floor (39617.5)     		tx = 39617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301265716552734 × 217)
    floor (0.301265716552734 × 131072)
    floor (39487.5)     		ty = 39487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 39617 / 39487 ti = "17/39617/39487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/39617/39487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39617 ÷ 217
    39617 ÷ 131072     		x = 0.302253723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39487 ÷ 217
    39487 ÷ 131072     		y = 0.301261901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.302253723144531 × 2 - 1) × π
    -0.395492553710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.24247650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301261901855469 × 2 - 1) × π
    0.397476196289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.24870829820284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.24247650} λ = -1.24247650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24870829820284))-π/2
    2×atan(3.48583738574499)-π/2
    2×1.29142377789841-π/2
    2.58284755579683-1.57079632675     		φ = 1.01205123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.24247650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.188660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01205123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.986264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39617 KachelY 39487 -1.24247650 1.01205123 -71.188660 57.986264
    Oben rechts KachelX + 1 39618 KachelY 39487 -1.24242856 1.01205123 -71.185913 57.986264
    Unten links KachelX 39617 KachelY + 1 39488 -1.24247650 1.01202582 -71.188660 57.984808
    Unten rechts KachelX + 1 39618 KachelY + 1 39488 -1.24242856 1.01202582 -71.185913 57.984808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01205123-1.01202582) × R
    2.54099999998925e-05 × 6371000     		dl = 161.887109999315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01205123-1.01202582) × R
    2.54099999998925e-05 × 6371000     		dr = 161.887109999315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.24247650--1.24242856) × cos(1.01205123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.530122556794399 × 6371000     		do = 161.913074199515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.24247650--1.24242856) × cos(1.01202582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.530144102296652 × 6371000     		du = 161.919654750484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01205123)-sin(1.01202582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530122556794399-0.530144102296652)×R²
    abs(-1.24242856--1.24247650)×2.15455022531952e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15455022531952e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15455022531952e-05×40589641000000     		ar = 26212.1723077479m²