Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39615 / 41921
↖ ↑ ↗
← S 44.844186°
E 37.611694°		 ← 433.11 m → S 44.844186°
E 37.617188°		 →
↑
433.04 m
↓
↑
433.04 m
↓
S 44.848080°
E 37.611694°		 ← 433.08 m →
187 546 m²		 S 44.848080°
E 37.617188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604484558105469 y=0.639671325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604484558105469 × 216)
    floor (0.604484558105469 × 65536)
    floor (39615.5)     		tx = 39615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639671325683594 × 216)
    floor (0.639671325683594 × 65536)
    floor (41921.5)     		ty = 41921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39615 / 41921 ti = "16/39615/41921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39615/41921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39615 ÷ 216
    39615 ÷ 65536     		x = 0.604476928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41921 ÷ 216
    41921 ÷ 65536     		y = 0.639663696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604476928710938 × 2 - 1) × π
    0.208953857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65644790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639663696289062 × 2 - 1) × π
    -0.279327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.877532884444748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65644790} λ = 0.65644790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877532884444748))-π/2
    2×atan(0.415807492414887)-π/2
    2×0.394058818986296-π/2
    0.788117637972592-1.57079632675     		φ = -0.78267869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65644790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.611694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78267869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.844186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39615 KachelY 41921 0.65644790 -0.78267869 37.611694 -44.844186
    Oben rechts KachelX + 1 39616 KachelY 41921 0.65654378 -0.78267869 37.617188 -44.844186
    Unten links KachelX 39615 KachelY + 1 41922 0.65644790 -0.78274666 37.611694 -44.848080
    Unten rechts KachelX + 1 39616 KachelY + 1 41922 0.65654378 -0.78274666 37.617188 -44.848080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78267869--0.78274666) × R
    6.79700000000283e-05 × 6371000     		dl = 433.03687000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78267869--0.78274666) × R
    6.79700000000283e-05 × 6371000     		dr = 433.03687000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65644790-0.65654378) × cos(-0.78267869) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.709027122181862 × 6371000     		do = 433.110266945149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65644790-0.65654378) × cos(-0.78274666) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.708979189377179 × 6371000     		du = 433.080987120468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78267869)-sin(-0.78274666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709027122181862-0.708979189377179)×R²
    abs(0.65654378-0.65644790)×4.79328046830707e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79328046830707e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79328046830707e-05×40589641000000     		ar = 187546.374813278m²