Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39608 / 41896
↖ ↑ ↗
← S 44.746733°
E 37.573242°		 ← 433.80 m → S 44.746733°
E 37.578735°		 →
↑
433.80 m
↓
↑
433.80 m
↓
S 44.750634°
E 37.573242°		 ← 433.77 m →
188 175 m²		 S 44.750634°
E 37.578735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604377746582031 y=0.639289855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604377746582031 × 216)
    floor (0.604377746582031 × 65536)
    floor (39608.5)     		tx = 39608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639289855957031 × 216)
    floor (0.639289855957031 × 65536)
    floor (41896.5)     		ty = 41896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39608 / 41896 ti = "16/39608/41896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39608/41896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39608 ÷ 216
    39608 ÷ 65536     		x = 0.6043701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41896 ÷ 216
    41896 ÷ 65536     		y = 0.6392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6043701171875 × 2 - 1) × π
    0.208740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65577679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.278564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.875136039463745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65577679} λ = 0.65577679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.875136039463745))-π/2
    2×atan(0.416805313850098)-π/2
    2×0.394909251129382-π/2
    0.789818502258764-1.57079632675     		φ = -0.78097782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65577679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.573242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78097782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.746733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39608 KachelY 41896 0.65577679 -0.78097782 37.573242 -44.746733
    Oben rechts KachelX + 1 39609 KachelY 41896 0.65587266 -0.78097782 37.578735 -44.746733
    Unten links KachelX 39608 KachelY + 1 41897 0.65577679 -0.78104591 37.573242 -44.750634
    Unten rechts KachelX + 1 39609 KachelY + 1 41897 0.65587266 -0.78104591 37.578735 -44.750634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78097782--0.78104591) × R
    6.80899999999651e-05 × 6371000     		dl = 433.801389999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78097782--0.78104591) × R
    6.80899999999651e-05 × 6371000     		dr = 433.801389999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65577679-0.65587266) × cos(-0.78097782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710225517576633 × 6371000     		do = 433.797060077718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65577679-0.65587266) × cos(-0.78104591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.710177582325071 × 6371000     		du = 433.767781812312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78097782)-sin(-0.78104591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710225517576633-0.710177582325071)×R²
    abs(0.65587266-0.65577679)×4.79352515622145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79352515622145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79352515622145e-05×40589641000000     		ar = 188175.417236141m²