Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3960 / 2440
↖ ↑ ↗
← N 77.427823°
W 92.988281°		 ← 531.81 m → N 77.427823°
W 92.966309°		 →
↑
531.91 m
↓
↑
531.91 m
↓
N 77.423040°
W 92.988281°		 ← 532.01 m →
282 932 m²		 N 77.423040°
W 92.966309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.241729736328125 y=0.148956298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.241729736328125 × 214)
    floor (0.241729736328125 × 16384)
    floor (3960.5)     		tx = 3960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148956298828125 × 214)
    floor (0.148956298828125 × 16384)
    floor (2440.5)     		ty = 2440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3960 / 2440 ti = "14/3960/2440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3960/2440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3960 ÷ 214
    3960 ÷ 16384     		x = 0.24169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2440 ÷ 214
    2440 ÷ 16384     		y = 0.14892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24169921875 × 2 - 1) × π
    -0.5166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.62295167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14892578125 × 2 - 1) × π
    0.7021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2058643729165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62295167} λ = -1.62295167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2058643729165))-π/2
    2×atan(9.07809503701035)-π/2
    2×1.46108338999285-π/2
    2.92216677998571-1.57079632675     		φ = 1.35137045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62295167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35137045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.427823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3960 KachelY 2440 -1.62295167 1.35137045 -92.988281 77.427823
    Oben rechts KachelX + 1 3961 KachelY 2440 -1.62256818 1.35137045 -92.966309 77.427823
    Unten links KachelX 3960 KachelY + 1 2441 -1.62295167 1.35128696 -92.988281 77.423040
    Unten rechts KachelX + 1 3961 KachelY + 1 2441 -1.62256818 1.35128696 -92.966309 77.423040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35137045-1.35128696) × R
    8.34899999999639e-05 × 6371000     		dl = 531.91478999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35137045-1.35128696) × R
    8.34899999999639e-05 × 6371000     		dr = 531.91478999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62295167--1.62256818) × cos(1.35137045) × R
    0.000383489999999931 × 0.217669301774042 × 6371000     		do = 531.812857423217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62295167--1.62256818) × cos(1.35128696) × R
    0.000383489999999931 × 0.217750789140442 × 6371000     		du = 532.011948562004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35137045)-sin(1.35128696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217669301774042-0.217750789140442)×R²
    abs(-1.62256818--1.62295167)×8.14873664002069e-05×R²
    0.000383489999999931×8.14873664002069e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.14873664002069e-05×40589641000000     		ar = 282932.074300473m²