Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39596 / 41750
↖ ↑ ↗
← S 44.174325°
E 37.507324°		 ← 438.12 m → S 44.174325°
E 37.512818°		 →
↑
438.07 m
↓
↑
438.07 m
↓
S 44.178264°
E 37.507324°		 ← 438.09 m →
191 919 m²		 S 44.178264°
E 37.512818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604194641113281 y=0.637062072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604194641113281 × 216)
    floor (0.604194641113281 × 65536)
    floor (39596.5)     		tx = 39596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637062072753906 × 216)
    floor (0.637062072753906 × 65536)
    floor (41750.5)     		ty = 41750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39596 / 41750 ti = "16/39596/41750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39596/41750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39596 ÷ 216
    39596 ÷ 65536     		x = 0.60418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41750 ÷ 216
    41750 ÷ 65536     		y = 0.637054443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60418701171875 × 2 - 1) × π
    0.2083740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65462630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637054443359375 × 2 - 1) × π
    -0.27410888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.861138464774689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65462630} λ = 0.65462630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861138464774689))-π/2
    2×atan(0.422680601319628)-π/2
    2×0.399904456776168-π/2
    0.799808913552336-1.57079632675     		φ = -0.77098741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65462630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.507324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77098741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.174325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39596 KachelY 41750 0.65462630 -0.77098741 37.507324 -44.174325
    Oben rechts KachelX + 1 39597 KachelY 41750 0.65472218 -0.77098741 37.512818 -44.174325
    Unten links KachelX 39596 KachelY + 1 41751 0.65462630 -0.77105617 37.507324 -44.178264
    Unten rechts KachelX + 1 39597 KachelY + 1 41751 0.65472218 -0.77105617 37.512818 -44.178264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77098741--0.77105617) × R
    6.8760000000001e-05 × 6371000     		dl = 438.069960000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77098741--0.77105617) × R
    6.8760000000001e-05 × 6371000     		dr = 438.069960000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65462630-0.65472218) × cos(-0.77098741) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.717222948852957 × 6371000     		do = 438.116699797013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65462630-0.65472218) × cos(-0.77105617) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.717175032179786 × 6371000     		du = 438.08742982629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77098741)-sin(-0.77105617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717222948852957-0.717175032179786)×R²
    abs(0.65472218-0.65462630)×4.79166731713887e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79166731713887e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79166731713887e-05×40589641000000     		ar = 191919.354083296m²