Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39592 / 41756
↖ ↑ ↗
← S 44.197959°
E 37.485352°		 ← 437.90 m → S 44.197959°
E 37.490845°		 →
↑
437.88 m
↓
↑
437.88 m
↓
S 44.201897°
E 37.485352°		 ← 437.87 m →
191 739 m²		 S 44.201897°
E 37.490845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604133605957031 y=0.637153625488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604133605957031 × 216)
    floor (0.604133605957031 × 65536)
    floor (39592.5)     		tx = 39592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637153625488281 × 216)
    floor (0.637153625488281 × 65536)
    floor (41756.5)     		ty = 41756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39592 / 41756 ti = "16/39592/41756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39592/41756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39592 ÷ 216
    39592 ÷ 65536     		x = 0.6041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41756 ÷ 216
    41756 ÷ 65536     		y = 0.63714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6041259765625 × 2 - 1) × π
    0.208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65424281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63714599609375 × 2 - 1) × π
    -0.2742919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.861713707570129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65424281} λ = 0.65424281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861713707570129))-π/2
    2×atan(0.422437527268948)-π/2
    2×0.399698209455973-π/2
    0.799396418911945-1.57079632675     		φ = -0.77139991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65424281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.485352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77139991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.197959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39592 KachelY 41756 0.65424281 -0.77139991 37.485352 -44.197959
    Oben rechts KachelX + 1 39593 KachelY 41756 0.65433868 -0.77139991 37.490845 -44.197959
    Unten links KachelX 39592 KachelY + 1 41757 0.65424281 -0.77146864 37.485352 -44.201897
    Unten rechts KachelX + 1 39593 KachelY + 1 41757 0.65433868 -0.77146864 37.490845 -44.201897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77139991--0.77146864) × R
    6.87300000000723e-05 × 6371000     		dl = 437.878830000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77139991--0.77146864) × R
    6.87300000000723e-05 × 6371000     		dr = 437.878830000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65424281-0.65433868) × cos(-0.77139991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.716935439785453 × 6371000     		do = 437.895398500517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65424281-0.65433868) × cos(-0.77146864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.716887523689751 × 6371000     		du = 437.866131935276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77139991)-sin(-0.77146864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716935439785453-0.716887523689751)×R²
    abs(0.65433868-0.65424281)×4.79160957023161e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79160957023161e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79160957023161e-05×40589641000000     		ar = 191738.717228615m²