Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39591 / 41761
↖ ↑ ↗
← S 44.217647°
E 37.479858°		 ← 437.79 m → S 44.217647°
E 37.485352°		 →
↑
437.75 m
↓
↑
437.75 m
↓
S 44.221584°
E 37.479858°		 ← 437.77 m →
191 639 m²		 S 44.221584°
E 37.485352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604118347167969 y=0.637229919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604118347167969 × 216)
    floor (0.604118347167969 × 65536)
    floor (39591.5)     		tx = 39591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637229919433594 × 216)
    floor (0.637229919433594 × 65536)
    floor (41761.5)     		ty = 41761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39591 / 41761 ti = "16/39591/41761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39591/41761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39591 ÷ 216
    39591 ÷ 65536     		x = 0.604110717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41761 ÷ 216
    41761 ÷ 65536     		y = 0.637222290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604110717773438 × 2 - 1) × π
    0.208221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65414693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637222290039062 × 2 - 1) × π
    -0.274444580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.86219307656633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65414693} λ = 0.65414693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86219307656633))-π/2
    2×atan(0.422235072344727)-π/2
    2×0.39952639985782-π/2
    0.799052799715639-1.57079632675     		φ = -0.77174353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65414693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.479858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77174353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.217647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39591 KachelY 41761 0.65414693 -0.77174353 37.479858 -44.217647
    Oben rechts KachelX + 1 39592 KachelY 41761 0.65424281 -0.77174353 37.485352 -44.217647
    Unten links KachelX 39591 KachelY + 1 41762 0.65414693 -0.77181224 37.479858 -44.221584
    Unten rechts KachelX + 1 39592 KachelY + 1 41762 0.65424281 -0.77181224 37.485352 -44.221584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77174353--0.77181224) × R
    6.87100000000829e-05 × 6371000     		dl = 437.751410000528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77174353--0.77181224) × R
    6.87100000000829e-05 × 6371000     		dr = 437.751410000528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65414693-0.65424281) × cos(-0.77174353) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.716695846366357 × 6371000     		do = 437.794718462455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65414693-0.65424281) × cos(-0.77181224) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.716647927290886 × 6371000     		du = 437.765447024283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77174353)-sin(-0.77181224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716695846366357-0.716647927290886)×R²
    abs(0.65424281-0.65414693)×4.79190754708592e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79190754708592e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79190754708592e-05×40589641000000     		ar = 191638.848566442m²