Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39589 / 41759
↖ ↑ ↗
← S 44.209772°
E 37.468872°		 ← 437.85 m → S 44.209772°
E 37.474365°		 →
↑
437.82 m
↓
↑
437.82 m
↓
S 44.213710°
E 37.468872°		 ← 437.82 m →
191 692 m²		 S 44.213710°
E 37.474365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604087829589844 y=0.637199401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604087829589844 × 216)
    floor (0.604087829589844 × 65536)
    floor (39589.5)     		tx = 39589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637199401855469 × 216)
    floor (0.637199401855469 × 65536)
    floor (41759.5)     		ty = 41759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39589 / 41759 ti = "16/39589/41759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39589/41759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39589 ÷ 216
    39589 ÷ 65536     		x = 0.604080200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41759 ÷ 216
    41759 ÷ 65536     		y = 0.637191772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604080200195312 × 2 - 1) × π
    0.208160400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65395518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637191772460938 × 2 - 1) × π
    -0.274383544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.86200132896785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65395518} λ = 0.65395518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86200132896785))-π/2
    2×atan(0.422316042668528)-π/2
    2×0.399595116805873-π/2
    0.799190233611746-1.57079632675     		φ = -0.77160609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65395518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.468872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77160609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.209772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39589 KachelY 41759 0.65395518 -0.77160609 37.468872 -44.209772
    Oben rechts KachelX + 1 39590 KachelY 41759 0.65405106 -0.77160609 37.474365 -44.209772
    Unten links KachelX 39589 KachelY + 1 41760 0.65395518 -0.77167481 37.468872 -44.213710
    Unten rechts KachelX + 1 39590 KachelY + 1 41760 0.65405106 -0.77167481 37.474365 -44.213710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77160609--0.77167481) × R
    6.87200000000221e-05 × 6371000     		dl = 437.815120000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77160609--0.77167481) × R
    6.87200000000221e-05 × 6371000     		dr = 437.815120000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65395518-0.65405106) × cos(-0.77160609) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.716791688312119 × 6371000     		do = 437.853263657377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65395518-0.65405106) × cos(-0.77167481) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.716743769031627 × 6371000     		du = 437.823992093968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77160609)-sin(-0.77167481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716791688312119-0.716743769031627)×R²
    abs(0.65405106-0.65395518)×4.79192804917483e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79192804917483e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79192804917483e-05×40589641000000     		ar = 191692.371479567m²