Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39589 / 41757
↖ ↑ ↗
← S 44.201897°
E 37.468872°		 ← 437.91 m → S 44.201897°
E 37.474365°		 →
↑
437.88 m
↓
↑
437.88 m
↓
S 44.205835°
E 37.468872°		 ← 437.88 m →
191 746 m²		 S 44.205835°
E 37.474365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604087829589844 y=0.637168884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604087829589844 × 216)
    floor (0.604087829589844 × 65536)
    floor (39589.5)     		tx = 39589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637168884277344 × 216)
    floor (0.637168884277344 × 65536)
    floor (41757.5)     		ty = 41757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39589 / 41757 ti = "16/39589/41757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39589/41757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39589 ÷ 216
    39589 ÷ 65536     		x = 0.604080200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41757 ÷ 216
    41757 ÷ 65536     		y = 0.637161254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604080200195312 × 2 - 1) × π
    0.208160400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65395518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637161254882812 × 2 - 1) × π
    -0.274322509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.861809581369369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65395518} λ = 0.65395518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861809581369369))-π/2
    2×atan(0.422397028519682)-π/2
    2×0.399663842942215-π/2
    0.799327685884431-1.57079632675     		φ = -0.77146864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65395518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.468872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77146864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.201897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39589 KachelY 41757 0.65395518 -0.77146864 37.468872 -44.201897
    Oben rechts KachelX + 1 39590 KachelY 41757 0.65405106 -0.77146864 37.474365 -44.201897
    Unten links KachelX 39589 KachelY + 1 41758 0.65395518 -0.77153737 37.468872 -44.205835
    Unten rechts KachelX + 1 39590 KachelY + 1 41758 0.65405106 -0.77153737 37.474365 -44.205835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77146864--0.77153737) × R
    6.87299999999613e-05 × 6371000     		dl = 437.878829999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77146864--0.77153737) × R
    6.87299999999613e-05 × 6371000     		dr = 437.878829999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65395518-0.65405106) × cos(-0.77146864) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.716887523689751 × 6371000     		do = 437.911804839639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65395518-0.65405106) × cos(-0.77153737) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.716839604207606 × 6371000     		du = 437.882533153051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77146864)-sin(-0.77153737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716887523689751-0.716839604207606)×R²
    abs(0.65405106-0.65395518)×4.79194821447759e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79194821447759e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79194821447759e-05×40589641000000     		ar = 191745.900096217m²