Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39587 / 41746
↖ ↑ ↗
← S 44.158563°
E 37.457886°		 ← 438.19 m → S 44.158563°
E 37.463379°		 →
↑
438.20 m
↓
↑
438.20 m
↓
S 44.162504°
E 37.457886°		 ← 438.16 m →
192 006 m²		 S 44.162504°
E 37.463379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604057312011719 y=0.637001037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604057312011719 × 216)
    floor (0.604057312011719 × 65536)
    floor (39587.5)     		tx = 39587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637001037597656 × 216)
    floor (0.637001037597656 × 65536)
    floor (41746.5)     		ty = 41746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39587 / 41746 ti = "16/39587/41746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39587/41746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39587 ÷ 216
    39587 ÷ 65536     		x = 0.604049682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41746 ÷ 216
    41746 ÷ 65536     		y = 0.636993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604049682617188 × 2 - 1) × π
    0.208099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.65376344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636993408203125 × 2 - 1) × π
    -0.27398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.860754969577728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65376344} λ = 0.65376344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860754969577728))-π/2
    2×atan(0.422842728385571)-π/2
    2×0.40004200092959-π/2
    0.800084001859181-1.57079632675     		φ = -0.77071232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65376344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.457886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77071232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.158563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39587 KachelY 41746 0.65376344 -0.77071232 37.457886 -44.158563
    Oben rechts KachelX + 1 39588 KachelY 41746 0.65385931 -0.77071232 37.463379 -44.158563
    Unten links KachelX 39587 KachelY + 1 41747 0.65376344 -0.77078110 37.457886 -44.162504
    Unten rechts KachelX + 1 39588 KachelY + 1 41747 0.65385931 -0.77078110 37.463379 -44.162504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77071232--0.77078110) × R
    6.87799999999905e-05 × 6371000     		dl = 438.19737999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77071232--0.77078110) × R
    6.87799999999905e-05 × 6371000     		dr = 438.19737999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65376344-0.65385931) × cos(-0.77071232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.717414616465847 × 6371000     		do = 438.188073756571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65376344-0.65385931) × cos(-0.77078110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.717366699426527 × 6371000     		du = 438.158806614979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77071232)-sin(-0.77078110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717414616465847-0.717366699426527)×R²
    abs(0.65385931-0.65376344)×4.79170393200556e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79170393200556e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79170393200556e-05×40589641000000     		ar = 192006.45355049m²