Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39586 / 42119
↖ ↑ ↗
← S 45.610195°
E 37.452392°		 ← 427.31 m → S 45.610195°
E 37.457886°		 →
↑
427.30 m
↓
↑
427.30 m
↓
S 45.614038°
E 37.452392°		 ← 427.28 m →
182 586 m²		 S 45.614038°
E 37.457886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604042053222656 y=0.642692565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604042053222656 × 216)
    floor (0.604042053222656 × 65536)
    floor (39586.5)     		tx = 39586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642692565917969 × 216)
    floor (0.642692565917969 × 65536)
    floor (42119.5)     		ty = 42119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39586 / 42119 ti = "16/39586/42119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39586/42119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39586 ÷ 216
    39586 ÷ 65536     		x = 0.604034423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42119 ÷ 216
    42119 ÷ 65536     		y = 0.642684936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604034423828125 × 2 - 1) × π
    0.20806884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65366756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642684936523438 × 2 - 1) × π
    -0.285369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.89651589669429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65366756} λ = 0.65366756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89651589669429))-π/2
    2×atan(0.407988660974112)-π/2
    2×0.387374126876345-π/2
    0.774748253752689-1.57079632675     		φ = -0.79604807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65366756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.452392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79604807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.610195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39586 KachelY 42119 0.65366756 -0.79604807 37.452392 -45.610195
    Oben rechts KachelX + 1 39587 KachelY 42119 0.65376344 -0.79604807 37.457886 -45.610195
    Unten links KachelX 39586 KachelY + 1 42120 0.65366756 -0.79611514 37.452392 -45.614038
    Unten rechts KachelX + 1 39587 KachelY + 1 42120 0.65376344 -0.79611514 37.457886 -45.614038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79604807--0.79611514) × R
    6.70700000000579e-05 × 6371000     		dl = 427.302970000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79604807--0.79611514) × R
    6.70700000000579e-05 × 6371000     		dr = 427.302970000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65366756-0.65376344) × cos(-0.79604807) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.699536202535469 × 6371000     		do = 427.312724632091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65366756-0.65376344) × cos(-0.79611514) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.69948827293058 × 6371000     		du = 427.283446762009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79604807)-sin(-0.79611514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699536202535469-0.69948827293058)×R²
    abs(0.65376344-0.65366756)×4.79296048890854e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79296048890854e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79296048890854e-05×40589641000000     		ar = 182585.741162082m²