Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39586 / 41739
↖ ↑ ↗
← S 44.130971°
E 37.452392°		 ← 438.44 m → S 44.130971°
E 37.457886°		 →
↑
438.39 m
↓
↑
438.39 m
↓
S 44.134913°
E 37.452392°		 ← 438.41 m →
192 200 m²		 S 44.134913°
E 37.457886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604042053222656 y=0.636894226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604042053222656 × 216)
    floor (0.604042053222656 × 65536)
    floor (39586.5)     		tx = 39586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636894226074219 × 216)
    floor (0.636894226074219 × 65536)
    floor (41739.5)     		ty = 41739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39586 / 41739 ti = "16/39586/41739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39586/41739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39586 ÷ 216
    39586 ÷ 65536     		x = 0.604034423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41739 ÷ 216
    41739 ÷ 65536     		y = 0.636886596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604034423828125 × 2 - 1) × π
    0.20806884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65366756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636886596679688 × 2 - 1) × π
    -0.273773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.860083852983047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65366756} λ = 0.65366756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860083852983047))-π/2
    2×atan(0.423126600402487)-π/2
    2×0.400282791630492-π/2
    0.800565583260984-1.57079632675     		φ = -0.77023074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65366756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.452392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77023074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.130971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39586 KachelY 41739 0.65366756 -0.77023074 37.452392 -44.130971
    Oben rechts KachelX + 1 39587 KachelY 41739 0.65376344 -0.77023074 37.457886 -44.130971
    Unten links KachelX 39586 KachelY + 1 41740 0.65366756 -0.77029955 37.452392 -44.134913
    Unten rechts KachelX + 1 39587 KachelY + 1 41740 0.65376344 -0.77029955 37.457886 -44.134913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77023074--0.77029955) × R
    6.88100000000302e-05 × 6371000     		dl = 438.388510000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77023074--0.77029955) × R
    6.88100000000302e-05 × 6371000     		dr = 438.388510000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65366756-0.65376344) × cos(-0.77023074) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.717750024256286 × 6371000     		do = 438.4386645867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65366756-0.65376344) × cos(-0.77029955) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.717702110094196 × 6371000     		du = 438.409396149875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77023074)-sin(-0.77029955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717750024256286-0.717702110094196)×R²
    abs(0.65376344-0.65366756)×4.79141620892687e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79141620892687e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79141620892687e-05×40589641000000     		ar = 192200.057497409m²