Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39585 / 42117
↖ ↑ ↗
← S 45.602509°
E 37.446899°		 ← 427.33 m → S 45.602509°
E 37.452392°		 →
↑
427.30 m
↓
↑
427.30 m
↓
S 45.606352°
E 37.446899°		 ← 427.30 m →
182 592 m²		 S 45.606352°
E 37.452392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604026794433594 y=0.642662048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604026794433594 × 216)
    floor (0.604026794433594 × 65536)
    floor (39585.5)     		tx = 39585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642662048339844 × 216)
    floor (0.642662048339844 × 65536)
    floor (42117.5)     		ty = 42117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39585 / 42117 ti = "16/39585/42117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39585/42117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39585 ÷ 216
    39585 ÷ 65536     		x = 0.604019165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42117 ÷ 216
    42117 ÷ 65536     		y = 0.642654418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.604019165039062 × 2 - 1) × π
    0.208038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65357169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642654418945312 × 2 - 1) × π
    -0.285308837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.89632414909581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65357169} λ = 0.65357169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89632414909581))-π/2
    2×atan(0.408066899320829)-π/2
    2×0.387441198664438-π/2
    0.774882397328877-1.57079632675     		φ = -0.79591393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65357169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.446899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79591393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.602509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39585 KachelY 42117 0.65357169 -0.79591393 37.446899 -45.602509
    Oben rechts KachelX + 1 39586 KachelY 42117 0.65366756 -0.79591393 37.452392 -45.602509
    Unten links KachelX 39585 KachelY + 1 42118 0.65357169 -0.79598100 37.446899 -45.606352
    Unten rechts KachelX + 1 39586 KachelY + 1 42118 0.65366756 -0.79598100 37.452392 -45.606352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79591393--0.79598100) × R
    6.70700000000579e-05 × 6371000     		dl = 427.302970000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79591393--0.79598100) × R
    6.70700000000579e-05 × 6371000     		dr = 427.302970000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65357169-0.65366756) × cos(-0.79591393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.699632052304683 × 6371000     		do = 427.326701047691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65357169-0.65366756) × cos(-0.79598100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.699584128993575 × 6371000     		du = 427.297430075369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79591393)-sin(-0.79598100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699632052304683-0.699584128993575)×R²
    abs(0.65366756-0.65357169)×4.79233111073674e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79233111073674e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79233111073674e-05×40589641000000     		ar = 182591.714799811m²