Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39581 / 41743
↖ ↑ ↗
← S 44.146740°
E 37.424927°		 ← 438.32 m → S 44.146740°
E 37.430420°		 →
↑
438.26 m
↓
↑
438.26 m
↓
S 44.150681°
E 37.424927°		 ← 438.29 m →
192 093 m²		 S 44.150681°
E 37.430420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603965759277344 y=0.636955261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603965759277344 × 216)
    floor (0.603965759277344 × 65536)
    floor (39581.5)     		tx = 39581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636955261230469 × 216)
    floor (0.636955261230469 × 65536)
    floor (41743.5)     		ty = 41743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39581 / 41743 ti = "16/39581/41743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39581/41743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39581 ÷ 216
    39581 ÷ 65536     		x = 0.603958129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41743 ÷ 216
    41743 ÷ 65536     		y = 0.636947631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603958129882812 × 2 - 1) × π
    0.207916259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65318819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636947631835938 × 2 - 1) × π
    -0.273895263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.860467348180008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65318819} λ = 0.65318819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860467348180008))-π/2
    2×atan(0.422964364493861)-π/2
    2×0.400145183162719-π/2
    0.800290366325437-1.57079632675     		φ = -0.77050596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65318819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.424927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77050596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.146740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39581 KachelY 41743 0.65318819 -0.77050596 37.424927 -44.146740
    Oben rechts KachelX + 1 39582 KachelY 41743 0.65328407 -0.77050596 37.430420 -44.146740
    Unten links KachelX 39581 KachelY + 1 41744 0.65318819 -0.77057475 37.424927 -44.150681
    Unten rechts KachelX + 1 39582 KachelY + 1 41744 0.65328407 -0.77057475 37.430420 -44.150681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77050596--0.77057475) × R
    6.87899999999297e-05 × 6371000     		dl = 438.261089999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77050596--0.77057475) × R
    6.87899999999297e-05 × 6371000     		dr = 438.261089999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65318819-0.65328407) × cos(-0.77050596) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.717558361149679 × 6371000     		do = 438.321586894876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65318819-0.65328407) × cos(-0.77057475) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.717510447328143 × 6371000     		du = 438.292318666079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77050596)-sin(-0.77057475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717558361149679-0.717510447328143)×R²
    abs(0.65328407-0.65318819)×4.79138215354613e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79138215354613e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79138215354613e-05×40589641000000     		ar = 192092.882955773m²