Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39576 / 41967
↖ ↑ ↗
← S 45.023068°
E 37.397461°		 ← 431.72 m → S 45.023068°
E 37.402954°		 →
↑
431.76 m
↓
↑
431.76 m
↓
S 45.026951°
E 37.397461°		 ← 431.69 m →
186 394 m²		 S 45.026951°
E 37.402954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603889465332031 y=0.640373229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603889465332031 × 216)
    floor (0.603889465332031 × 65536)
    floor (39576.5)     		tx = 39576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640373229980469 × 216)
    floor (0.640373229980469 × 65536)
    floor (41967.5)     		ty = 41967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39576 / 41967 ti = "16/39576/41967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39576/41967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39576 ÷ 216
    39576 ÷ 65536     		x = 0.6038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41967 ÷ 216
    41967 ÷ 65536     		y = 0.640365600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6038818359375 × 2 - 1) × π
    0.207763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65270883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640365600585938 × 2 - 1) × π
    -0.280731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.881943079209793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65270883} λ = 0.65270883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881943079209793))-π/2
    2×atan(0.413977738140631)-π/2
    2×0.392497776344112-π/2
    0.784995552688224-1.57079632675     		φ = -0.78580077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65270883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.397461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78580077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.023068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39576 KachelY 41967 0.65270883 -0.78580077 37.397461 -45.023068
    Oben rechts KachelX + 1 39577 KachelY 41967 0.65280470 -0.78580077 37.402954 -45.023068
    Unten links KachelX 39576 KachelY + 1 41968 0.65270883 -0.78586854 37.397461 -45.026951
    Unten rechts KachelX + 1 39577 KachelY + 1 41968 0.65280470 -0.78586854 37.402954 -45.026951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78580077--0.78586854) × R
    6.77699999999115e-05 × 6371000     		dl = 431.762669999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78580077--0.78586854) × R
    6.77699999999115e-05 × 6371000     		dr = 431.762669999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65270883-0.65280470) × cos(-0.78580077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.706822038027221 × 6371000     		do = 431.718256393492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65270883-0.65280470) × cos(-0.78586854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.706774096488284 × 6371000     		du = 431.688974287834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78580077)-sin(-0.78586854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706822038027221-0.706774096488284)×R²
    abs(0.65280470-0.65270883)×4.79415389371685e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79415389371685e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79415389371685e-05×40589641000000     		ar = 186393.505679437m²