Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39574 / 42140
↖ ↑ ↗
← S 45.690833°
E 37.386475°		 ← 426.65 m → S 45.690833°
E 37.391968°		 →
↑
426.67 m
↓
↑
426.67 m
↓
S 45.694670°
E 37.386475°		 ← 426.62 m →
182 032 m²		 S 45.694670°
E 37.391968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603858947753906 y=0.643013000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603858947753906 × 216)
    floor (0.603858947753906 × 65536)
    floor (39574.5)     		tx = 39574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643013000488281 × 216)
    floor (0.643013000488281 × 65536)
    floor (42140.5)     		ty = 42140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39574 / 42140 ti = "16/39574/42140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39574/42140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39574 ÷ 216
    39574 ÷ 65536     		x = 0.603851318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42140 ÷ 216
    42140 ÷ 65536     		y = 0.64300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603851318359375 × 2 - 1) × π
    0.20770263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65251708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.2860107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.898529246478333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65251708} λ = 0.65251708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898529246478333))-π/2
    2×atan(0.407168063443775)-π/2
    2×0.386670427919151-π/2
    0.773340855838301-1.57079632675     		φ = -0.79745547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65251708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.386475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79745547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.690833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39574 KachelY 42140 0.65251708 -0.79745547 37.386475 -45.690833
    Oben rechts KachelX + 1 39575 KachelY 42140 0.65261295 -0.79745547 37.391968 -45.690833
    Unten links KachelX 39574 KachelY + 1 42141 0.65251708 -0.79752244 37.386475 -45.694670
    Unten rechts KachelX + 1 39575 KachelY + 1 42141 0.65261295 -0.79752244 37.391968 -45.694670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79745547--0.79752244) × R
    6.69699999999995e-05 × 6371000     		dl = 426.665869999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79745547--0.79752244) × R
    6.69699999999995e-05 × 6371000     		dr = 426.665869999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65251708-0.65261295) × cos(-0.79745547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698529786012533 × 6371000     		do = 426.653450277163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65251708-0.65261295) × cos(-0.79752244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698481861987933 × 6371000     		du = 426.624178869048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79745547)-sin(-0.79752244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698529786012533-0.698481861987933)×R²
    abs(0.65261295-0.65251708)×4.79240245997437e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79240245997437e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79240245997437e-05×40589641000000     		ar = 182032.221063656m²