Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39573 / 42130
↖ ↑ ↗
← S 45.652448°
E 37.380981°		 ← 426.99 m → S 45.652448°
E 37.386475°		 →
↑
426.98 m
↓
↑
426.98 m
↓
S 45.656288°
E 37.380981°		 ← 426.96 m →
182 312 m²		 S 45.656288°
E 37.386475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603843688964844 y=0.642860412597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603843688964844 × 216)
    floor (0.603843688964844 × 65536)
    floor (39573.5)     		tx = 39573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642860412597656 × 216)
    floor (0.642860412597656 × 65536)
    floor (42130.5)     		ty = 42130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39573 / 42130 ti = "16/39573/42130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39573/42130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39573 ÷ 216
    39573 ÷ 65536     		x = 0.603836059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42130 ÷ 216
    42130 ÷ 65536     		y = 0.642852783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603836059570312 × 2 - 1) × π
    0.207672119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65242120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.28570556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.897570508485931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65242120} λ = 0.65242120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897570508485931))-π/2
    2×atan(0.40755861812538)-π/2
    2×0.387005396306291-π/2
    0.774010792612582-1.57079632675     		φ = -0.79678553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65242120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.380981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79678553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.652448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39573 KachelY 42130 0.65242120 -0.79678553 37.380981 -45.652448
    Oben rechts KachelX + 1 39574 KachelY 42130 0.65251708 -0.79678553 37.386475 -45.652448
    Unten links KachelX 39573 KachelY + 1 42131 0.65242120 -0.79685255 37.380981 -45.656288
    Unten rechts KachelX + 1 39574 KachelY + 1 42131 0.65251708 -0.79685255 37.386475 -45.656288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79678553--0.79685255) × R
    6.70200000000287e-05 × 6371000     		dl = 426.984420000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79678553--0.79685255) × R
    6.70200000000287e-05 × 6371000     		dr = 426.984420000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65242120-0.65251708) × cos(-0.79678553) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.699009025541075 × 6371000     		do = 426.990697784844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65242120-0.65251708) × cos(-0.79685255) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.698961097108324 × 6371000     		du = 426.961420630763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79678553)-sin(-0.79685255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699009025541075-0.698961097108324)×R²
    abs(0.65251708-0.65242120)×4.79284327514762e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79284327514762e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79284327514762e-05×40589641000000     		ar = 182312.12506305m²