Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39573 / 41619
↖ ↑ ↗
← S 43.655950°
E 37.380981°		 ← 441.95 m → S 43.655950°
E 37.386475°		 →
↑
441.96 m
↓
↑
441.96 m
↓
S 43.659924°
E 37.380981°		 ← 441.92 m →
195 316 m²		 S 43.659924°
E 37.386475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603843688964844 y=0.635063171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603843688964844 × 216)
    floor (0.603843688964844 × 65536)
    floor (39573.5)     		tx = 39573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635063171386719 × 216)
    floor (0.635063171386719 × 65536)
    floor (41619.5)     		ty = 41619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39573 / 41619 ti = "16/39573/41619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39573/41619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39573 ÷ 216
    39573 ÷ 65536     		x = 0.603836059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41619 ÷ 216
    41619 ÷ 65536     		y = 0.635055541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603836059570312 × 2 - 1) × π
    0.207672119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65242120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635055541992188 × 2 - 1) × π
    -0.270111083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.848578997074234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65242120} λ = 0.65242120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848578997074234))-π/2
    2×atan(0.42802272155067)-π/2
    2×0.404428131376199-π/2
    0.808856262752398-1.57079632675     		φ = -0.76194006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65242120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.380981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76194006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.655950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39573 KachelY 41619 0.65242120 -0.76194006 37.380981 -43.655950
    Oben rechts KachelX + 1 39574 KachelY 41619 0.65251708 -0.76194006 37.386475 -43.655950
    Unten links KachelX 39573 KachelY + 1 41620 0.65242120 -0.76200943 37.380981 -43.659924
    Unten rechts KachelX + 1 39574 KachelY + 1 41620 0.65251708 -0.76200943 37.386475 -43.659924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76194006--0.76200943) × R
    6.93699999999575e-05 × 6371000     		dl = 441.956269999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76194006--0.76200943) × R
    6.93699999999575e-05 × 6371000     		dr = 441.956269999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65242120-0.65251708) × cos(-0.76194006) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.723498098560179 × 6371000     		do = 441.949884282381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65242120-0.65251708) × cos(-0.76200943) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.723450208878909 × 6371000     		du = 441.920630799701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76194006)-sin(-0.76200943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723498098560179-0.723450208878909)×R²
    abs(0.65251708-0.65242120)×4.78896812702301e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78896812702301e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78896812702301e-05×40589641000000     		ar = 195316.058082609m²