Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39572 / 42139
↖ ↑ ↗
← S 45.686996°
E 37.375488°		 ← 426.68 m → S 45.686996°
E 37.380981°		 →
↑
426.67 m
↓
↑
426.67 m
↓
S 45.690833°
E 37.375488°		 ← 426.65 m →
182 045 m²		 S 45.690833°
E 37.380981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603828430175781 y=0.642997741699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603828430175781 × 216)
    floor (0.603828430175781 × 65536)
    floor (39572.5)     		tx = 39572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642997741699219 × 216)
    floor (0.642997741699219 × 65536)
    floor (42139.5)     		ty = 42139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39572 / 42139 ti = "16/39572/42139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39572/42139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39572 ÷ 216
    39572 ÷ 65536     		x = 0.60382080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42139 ÷ 216
    42139 ÷ 65536     		y = 0.642990112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60382080078125 × 2 - 1) × π
    0.2076416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.65232533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642990112304688 × 2 - 1) × π
    -0.285980224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.898433372679092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65232533} λ = 0.65232533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898433372679092))-π/2
    2×atan(0.407207102064307)-π/2
    2×0.386703914419992-π/2
    0.773407828839984-1.57079632675     		φ = -0.79738850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65232533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.375488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79738850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.686996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39572 KachelY 42139 0.65232533 -0.79738850 37.375488 -45.686996
    Oben rechts KachelX + 1 39573 KachelY 42139 0.65242120 -0.79738850 37.380981 -45.686996
    Unten links KachelX 39572 KachelY + 1 42140 0.65232533 -0.79745547 37.375488 -45.690833
    Unten rechts KachelX + 1 39573 KachelY + 1 42140 0.65242120 -0.79745547 37.380981 -45.690833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79738850--0.79745547) × R
    6.69700000001106e-05 × 6371000     		dl = 426.665870000704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79738850--0.79745547) × R
    6.69700000001106e-05 × 6371000     		dr = 426.665870000704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65232533-0.65242120) × cos(-0.79738850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.69857770690424 × 6371000     		do = 426.682719771745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65232533-0.65242120) × cos(-0.79745547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698529786012533 × 6371000     		du = 426.653450277163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79738850)-sin(-0.79745547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69857770690424-0.698529786012533)×R²
    abs(0.65242120-0.65232533)×4.79208917070206e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79208917070206e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79208917070206e-05×40589641000000     		ar = 182044.709766569m²