Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39553 / 41607
↖ ↑ ↗
← S 43.608239°
E 37.271118°		 ← 442.25 m → S 43.608239°
E 37.276611°		 →
↑
442.27 m
↓
↑
442.27 m
↓
S 43.612217°
E 37.271118°		 ← 442.23 m →
195 592 m²		 S 43.612217°
E 37.276611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603538513183594 y=0.634880065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603538513183594 × 216)
    floor (0.603538513183594 × 65536)
    floor (39553.5)     		tx = 39553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634880065917969 × 216)
    floor (0.634880065917969 × 65536)
    floor (41607.5)     		ty = 41607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39553 / 41607 ti = "16/39553/41607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39553/41607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39553 ÷ 216
    39553 ÷ 65536     		x = 0.603530883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41607 ÷ 216
    41607 ÷ 65536     		y = 0.634872436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603530883789062 × 2 - 1) × π
    0.207061767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65050373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634872436523438 × 2 - 1) × π
    -0.269744873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.847428511483353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65050373} λ = 0.65050373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847428511483353))-π/2
    2×atan(0.428515438902143)-π/2
    2×0.40484448370904-π/2
    0.80968896741808-1.57079632675     		φ = -0.76110736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65050373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.271118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76110736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.608239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39553 KachelY 41607 0.65050373 -0.76110736 37.271118 -43.608239
    Oben rechts KachelX + 1 39554 KachelY 41607 0.65059960 -0.76110736 37.276611 -43.608239
    Unten links KachelX 39553 KachelY + 1 41608 0.65050373 -0.76117678 37.271118 -43.612217
    Unten rechts KachelX + 1 39554 KachelY + 1 41608 0.65059960 -0.76117678 37.276611 -43.612217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76110736--0.76117678) × R
    6.94199999999867e-05 × 6371000     		dl = 442.274819999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76110736--0.76117678) × R
    6.94199999999867e-05 × 6371000     		dr = 442.274819999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65050373-0.65059960) × cos(-0.76110736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724072682431716 × 6371000     		do = 442.254739020376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65050373-0.65059960) × cos(-0.76117678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724024800069398 × 6371000     		du = 442.225493059074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76110736)-sin(-0.76117678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724072682431716-0.724024800069398)×R²
    abs(0.65059960-0.65050373)×4.78823623184521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78823623184521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78823623184521e-05×40589641000000     		ar = 195591.66779676m²