Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39552 / 41600
↖ ↑ ↗
← S 43.580391°
E 37.265625°		 ← 442.51 m → S 43.580391°
E 37.271118°		 →
↑
442.47 m
↓
↑
442.47 m
↓
S 43.584370°
E 37.265625°		 ← 442.48 m →
195 787 m²		 S 43.584370°
E 37.271118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603523254394531 y=0.634773254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603523254394531 × 216)
    floor (0.603523254394531 × 65536)
    floor (39552.5)     		tx = 39552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634773254394531 × 216)
    floor (0.634773254394531 × 65536)
    floor (41600.5)     		ty = 41600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39552 / 41600 ti = "16/39552/41600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39552/41600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39552 ÷ 216
    39552 ÷ 65536     		x = 0.603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41600 ÷ 216
    41600 ÷ 65536     		y = 0.634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603515625 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65040785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634765625 × 2 - 1) × π
    -0.26953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846757394888672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65040785} λ = 0.65040785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846757394888672))-π/2
    2×atan(0.428803119246996)-π/2
    2×0.405087508538022-π/2
    0.810175017076043-1.57079632675     		φ = -0.76062131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65040785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76062131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.580391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39552 KachelY 41600 0.65040785 -0.76062131 37.265625 -43.580391
    Oben rechts KachelX + 1 39553 KachelY 41600 0.65050373 -0.76062131 37.271118 -43.580391
    Unten links KachelX 39552 KachelY + 1 41601 0.65040785 -0.76069076 37.265625 -43.584370
    Unten rechts KachelX + 1 39553 KachelY + 1 41601 0.65050373 -0.76069076 37.271118 -43.584370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76062131--0.76069076) × R
    6.94500000000264e-05 × 6371000     		dl = 442.465950000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76062131--0.76069076) × R
    6.94500000000264e-05 × 6371000     		dr = 442.465950000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65040785-0.65050373) × cos(-0.76062131) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.724407837082572 × 6371000     		do = 442.505599405198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65040785-0.65050373) × cos(-0.76069076) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.724359958473806 × 6371000     		du = 442.476352686173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76062131)-sin(-0.76069076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724407837082572-0.724359958473806)×R²
    abs(0.65050373-0.65040785)×4.78786087656502e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78786087656502e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78786087656502e-05×40589641000000     		ar = 195787.190161262m²