Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3955 / 5423
↖ ↑ ↗
← N 76.061155°
W136.549072°		 ← 294.28 m → N 76.061155°
W136.538086°		 →
↑
294.28 m
↓
↑
294.28 m
↓
N 76.058508°
W136.549072°		 ← 294.33 m →
86 607 m²		 N 76.058508°
W136.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120712280273438 y=0.165512084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120712280273438 × 215)
    floor (0.120712280273438 × 32768)
    floor (3955.5)     		tx = 3955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165512084960938 × 215)
    floor (0.165512084960938 × 32768)
    floor (5423.5)     		ty = 5423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3955 / 5423 ti = "15/3955/5423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3955/5423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3955 ÷ 215
    3955 ÷ 32768     		x = 0.120697021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5423 ÷ 215
    5423 ÷ 32768     		y = 0.165496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120697021484375 × 2 - 1) × π
    -0.75860595703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.38323090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165496826171875 × 2 - 1) × π
    0.66900634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10174542694174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38323090} λ = -2.38323090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10174542694174))-π/2
    2×atan(8.18043581196469)-π/2
    2×1.44915695386785-π/2
    2.8983139077357-1.57079632675     		φ = 1.32751758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38323090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.549072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32751758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.061155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3955 KachelY 5423 -2.38323090 1.32751758 -136.549072 76.061155
    Oben rechts KachelX + 1 3956 KachelY 5423 -2.38303915 1.32751758 -136.538086 76.061155
    Unten links KachelX 3955 KachelY + 1 5424 -2.38323090 1.32747139 -136.549072 76.058508
    Unten rechts KachelX + 1 3956 KachelY + 1 5424 -2.38303915 1.32747139 -136.538086 76.058508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32751758-1.32747139) × R
    4.6190000000168e-05 × 6371000     		dl = 294.276490001071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32751758-1.32747139) × R
    4.6190000000168e-05 × 6371000     		dr = 294.276490001071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38323090--2.38303915) × cos(1.32751758) × R
    0.000191749999999935 × 0.24088611432087 × 6371000     		do = 294.275932034262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38323090--2.38303915) × cos(1.32747139) × R
    0.000191749999999935 × 0.240930943924902 × 6371000     		du = 294.33069763811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32751758)-sin(1.32747139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24088611432087-0.240930943924902)×R²
    abs(-2.38303915--2.38323090)×4.48296040318208e-05×R²
    0.000191749999999935×4.48296040318208e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.48296040318208e-05×40589641000000     		ar = 86606.5465013691m²