Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3955 / 4827
↖ ↑ ↗
← S 30.562261°
W  6.196289°		 ← 4 207.65 m → S 30.562261°
W  6.152344°		 →
↑
4 206.84 m
↓
↑
4 206.84 m
↓
S 30.600094°
W  6.196289°		 ← 4 206.01 m →
17 697 427 m²		 S 30.600094°
W  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48284912109375 y=0.58929443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48284912109375 × 213)
    floor (0.48284912109375 × 8192)
    floor (3955.5)     		tx = 3955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58929443359375 × 213)
    floor (0.58929443359375 × 8192)
    floor (4827.5)     		ty = 4827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3955 / 4827 ti = "13/3955/4827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3955/4827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3955 ÷ 213
    3955 ÷ 8192     		x = 0.4827880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4827 ÷ 213
    4827 ÷ 8192     		y = 0.5892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4827880859375 × 2 - 1) × π
    -0.034423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10814565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.178466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.560669977956177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10814565} λ = -0.10814565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560669977956177))-π/2
    2×atan(0.57082649453848)-π/2
    2×0.518692123184394-π/2
    1.03738424636879-1.57079632675     		φ = -0.53341208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10814565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.196289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53341208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.562261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3955 KachelY 4827 -0.10814565 -0.53341208 -6.196289 -30.562261
    Oben rechts KachelX + 1 3956 KachelY 4827 -0.10737866 -0.53341208 -6.152344 -30.562261
    Unten links KachelX 3955 KachelY + 1 4828 -0.10814565 -0.53407239 -6.196289 -30.600094
    Unten rechts KachelX + 1 3956 KachelY + 1 4828 -0.10737866 -0.53407239 -6.152344 -30.600094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53341208--0.53407239) × R
    0.000660309999999997 × 6371000     		dl = 4206.83500999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53341208--0.53407239) × R
    0.000660309999999997 × 6371000     		dr = 4206.83500999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10814565--0.10737866) × cos(-0.53341208) × R
    0.000766989999999995 × 0.861077131138744 × 6371000     		do = 4207.6476234819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10814565--0.10737866) × cos(-0.53407239) × R
    0.000766989999999995 × 0.860741192740037 × 6371000     		du = 4206.00606275076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53341208)-sin(-0.53407239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861077131138744-0.860741192740037)×R²
    abs(-0.10737866--0.10814565)×0.000335938398707714×R²
    0.000766989999999995×0.000335938398707714×6371000²
    0.000766989999999995×0.000335938398707714×40589641000000     		ar = 17697427.0876504m²