Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39537 / 42131
↖ ↑ ↗
← S 45.656288°
E 37.183228°		 ← 426.92 m → S 45.656288°
E 37.188721°		 →
↑
426.92 m
↓
↑
426.92 m
↓
S 45.660127°
E 37.183228°		 ← 426.89 m →
182 253 m²		 S 45.660127°
E 37.188721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603294372558594 y=0.642875671386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603294372558594 × 216)
    floor (0.603294372558594 × 65536)
    floor (39537.5)     		tx = 39537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642875671386719 × 216)
    floor (0.642875671386719 × 65536)
    floor (42131.5)     		ty = 42131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39537 / 42131 ti = "16/39537/42131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39537/42131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39537 ÷ 216
    39537 ÷ 65536     		x = 0.603286743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42131 ÷ 216
    42131 ÷ 65536     		y = 0.642868041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603286743164062 × 2 - 1) × π
    0.206573486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64896975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642868041992188 × 2 - 1) × π
    -0.285736083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.897666382285171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64896975} λ = 0.64896975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897666382285171))-π/2
    2×atan(0.407519545805284)-π/2
    2×0.386971889129618-π/2
    0.773943778259236-1.57079632675     		φ = -0.79685255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64896975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.183228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79685255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.656288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39537 KachelY 42131 0.64896975 -0.79685255 37.183228 -45.656288
    Oben rechts KachelX + 1 39538 KachelY 42131 0.64906562 -0.79685255 37.188721 -45.656288
    Unten links KachelX 39537 KachelY + 1 42132 0.64896975 -0.79691956 37.183228 -45.660127
    Unten rechts KachelX + 1 39538 KachelY + 1 42132 0.64906562 -0.79691956 37.188721 -45.660127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79685255--0.79691956) × R
    6.70099999999785e-05 × 6371000     		dl = 426.920709999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79685255--0.79691956) × R
    6.70099999999785e-05 × 6371000     		dr = 426.920709999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64896975-0.64906562) × cos(-0.79685255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698961097108324 × 6371000     		do = 426.916889819537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64896975-0.64906562) × cos(-0.79691956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.698913172688128 × 6371000     		du = 426.887618169797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79685255)-sin(-0.79691956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698961097108324-0.698913172688128)×R²
    abs(0.64906562-0.64896975)×4.79244201959661e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79244201959661e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79244201959661e-05×40589641000000     		ar = 182253.413444119m²