Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39533 / 42101
↖ ↑ ↗
← S 45.540984°
E 37.161255°		 ← 427.84 m → S 45.540984°
E 37.166748°		 →
↑
427.81 m
↓
↑
427.81 m
↓
S 45.544832°
E 37.161255°		 ← 427.81 m →
183 029 m²		 S 45.544832°
E 37.166748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603233337402344 y=0.642417907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603233337402344 × 216)
    floor (0.603233337402344 × 65536)
    floor (39533.5)     		tx = 39533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642417907714844 × 216)
    floor (0.642417907714844 × 65536)
    floor (42101.5)     		ty = 42101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39533 / 42101 ti = "16/39533/42101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39533/42101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39533 ÷ 216
    39533 ÷ 65536     		x = 0.603225708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42101 ÷ 216
    42101 ÷ 65536     		y = 0.642410278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603225708007812 × 2 - 1) × π
    0.206451416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64858625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642410278320312 × 2 - 1) × π
    -0.284820556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.894790168307968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64858625} λ = 0.64858625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894790168307968))-π/2
    2×atan(0.408693346460639)-π/2
    2×0.387978103804524-π/2
    0.775956207609048-1.57079632675     		φ = -0.79484012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64858625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.161255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79484012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.540984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39533 KachelY 42101 0.64858625 -0.79484012 37.161255 -45.540984
    Oben rechts KachelX + 1 39534 KachelY 42101 0.64868213 -0.79484012 37.166748 -45.540984
    Unten links KachelX 39533 KachelY + 1 42102 0.64858625 -0.79490727 37.161255 -45.544832
    Unten rechts KachelX + 1 39534 KachelY + 1 42102 0.64868213 -0.79490727 37.166748 -45.544832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79484012--0.79490727) × R
    6.71500000000158e-05 × 6371000     		dl = 427.812650000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79484012--0.79490727) × R
    6.71500000000158e-05 × 6371000     		dr = 427.812650000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64858625-0.64868213) × cos(-0.79484012) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.700398889603506 × 6371000     		do = 427.839698304378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64858625-0.64868213) × cos(-0.79490727) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.700350959602208 × 6371000     		du = 427.810420192148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79484012)-sin(-0.79490727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700398889603506-0.700350959602208)×R²
    abs(0.64868213-0.64858625)×4.79300012983241e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79300012983241e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79300012983241e-05×40589641000000     		ar = 183028.972402269m²