Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39532 / 41614
↖ ↑ ↗
← S 43.636075°
E 37.155762°		 ← 442.05 m → S 43.636075°
E 37.161255°		 →
↑
442.08 m
↓
↑
442.08 m
↓
S 43.640051°
E 37.155762°		 ← 442.02 m →
195 417 m²		 S 43.640051°
E 37.161255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603218078613281 y=0.634986877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603218078613281 × 216)
    floor (0.603218078613281 × 65536)
    floor (39532.5)     		tx = 39532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634986877441406 × 216)
    floor (0.634986877441406 × 65536)
    floor (41614.5)     		ty = 41614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39532 / 41614 ti = "16/39532/41614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39532/41614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39532 ÷ 216
    39532 ÷ 65536     		x = 0.60321044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41614 ÷ 216
    41614 ÷ 65536     		y = 0.634979248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60321044921875 × 2 - 1) × π
    0.2064208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64849038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634979248046875 × 2 - 1) × π
    -0.26995849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.848099628078033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64849038} λ = 0.64849038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848099628078033))-π/2
    2×atan(0.428227951559572)-π/2
    2×0.40460157134657-π/2
    0.809203142693139-1.57079632675     		φ = -0.76159318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64849038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.155762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76159318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.636075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39532 KachelY 41614 0.64849038 -0.76159318 37.155762 -43.636075
    Oben rechts KachelX + 1 39533 KachelY 41614 0.64858625 -0.76159318 37.161255 -43.636075
    Unten links KachelX 39532 KachelY + 1 41615 0.64849038 -0.76166257 37.155762 -43.640051
    Unten rechts KachelX + 1 39533 KachelY + 1 41615 0.64858625 -0.76166257 37.161255 -43.640051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76159318--0.76166257) × R
    6.9390000000058e-05 × 6371000     		dl = 442.08369000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76159318--0.76166257) × R
    6.9390000000058e-05 × 6371000     		dr = 442.08369000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64849038-0.64858625) × cos(-0.76159318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723737515439954 × 6371000     		do = 442.0500231209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64849038-0.64858625) × cos(-0.76166257) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723689629368059 × 6371000     		du = 442.020774893833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76159318)-sin(-0.76166257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723737515439954-0.723689629368059)×R²
    abs(0.64858625-0.64849038)×4.7886071895098e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7886071895098e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7886071895098e-05×40589641000000     		ar = 195416.640382544m²