Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39530 / 41611
↖ ↑ ↗
← S 43.624147°
E 37.144775°		 ← 442.14 m → S 43.624147°
E 37.150268°		 →
↑
442.15 m
↓
↑
442.15 m
↓
S 43.628123°
E 37.144775°		 ← 442.11 m →
195 484 m²		 S 43.628123°
E 37.150268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603187561035156 y=0.634941101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603187561035156 × 216)
    floor (0.603187561035156 × 65536)
    floor (39530.5)     		tx = 39530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634941101074219 × 216)
    floor (0.634941101074219 × 65536)
    floor (41611.5)     		ty = 41611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39530 / 41611 ti = "16/39530/41611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39530/41611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39530 ÷ 216
    39530 ÷ 65536     		x = 0.603179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41611 ÷ 216
    41611 ÷ 65536     		y = 0.634933471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603179931640625 × 2 - 1) × π
    0.20635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64829863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634933471679688 × 2 - 1) × π
    -0.269866943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.847812006680313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64829863} λ = 0.64829863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.847812006680313))-π/2
    2×atan(0.428351136796049)-π/2
    2×0.404705662873022-π/2
    0.809411325746044-1.57079632675     		φ = -0.76138500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64829863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.144775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76138500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.624147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39530 KachelY 41611 0.64829863 -0.76138500 37.144775 -43.624147
    Oben rechts KachelX + 1 39531 KachelY 41611 0.64839450 -0.76138500 37.150268 -43.624147
    Unten links KachelX 39530 KachelY + 1 41612 0.64829863 -0.76145440 37.144775 -43.628123
    Unten rechts KachelX + 1 39531 KachelY + 1 41612 0.64839450 -0.76145440 37.150268 -43.628123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76138500--0.76145440) × R
    6.93999999999972e-05 × 6371000     		dl = 442.147399999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76138500--0.76145440) × R
    6.93999999999972e-05 × 6371000     		dr = 442.147399999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64829863-0.64839450) × cos(-0.76138500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723881159645308 × 6371000     		do = 442.137759244762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64829863-0.64839450) × cos(-0.76145440) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.723833277129185 × 6371000     		du = 442.108513189517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76138500)-sin(-0.76145440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723881159645308-0.723833277129185)×R²
    abs(0.64839450-0.64829863)×4.78825161223106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78825161223106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78825161223106e-05×40589641000000     		ar = 195483.595236469m²