Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39530 / 41594
↖ ↑ ↗
← S 43.556511°
E 37.144775°		 ← 442.63 m → S 43.556511°
E 37.150268°		 →
↑
442.59 m
↓
↑
442.59 m
↓
S 43.560491°
E 37.144775°		 ← 442.61 m →
195 901 m²		 S 43.560491°
E 37.150268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603187561035156 y=0.634681701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603187561035156 × 216)
    floor (0.603187561035156 × 65536)
    floor (39530.5)     		tx = 39530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634681701660156 × 216)
    floor (0.634681701660156 × 65536)
    floor (41594.5)     		ty = 41594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39530 / 41594 ti = "16/39530/41594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39530/41594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39530 ÷ 216
    39530 ÷ 65536     		x = 0.603179931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41594 ÷ 216
    41594 ÷ 65536     		y = 0.634674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603179931640625 × 2 - 1) × π
    0.20635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64829863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.26934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846182152093231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64829863} λ = 0.64829863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846182152093231))-π/2
    2×atan(0.429049856112004)-π/2
    2×0.405295905044387-π/2
    0.810591810088773-1.57079632675     		φ = -0.76020452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64829863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.144775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76020452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.556511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39530 KachelY 41594 0.64829863 -0.76020452 37.144775 -43.556511
    Oben rechts KachelX + 1 39531 KachelY 41594 0.64839450 -0.76020452 37.150268 -43.556511
    Unten links KachelX 39530 KachelY + 1 41595 0.64829863 -0.76027399 37.144775 -43.560491
    Unten rechts KachelX + 1 39531 KachelY + 1 41595 0.64839450 -0.76027399 37.150268 -43.560491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76020452--0.76027399) × R
    6.94699999999049e-05 × 6371000     		dl = 442.593369999394m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76020452--0.76027399) × R
    6.94699999999049e-05 × 6371000     		dr = 442.593369999394m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64829863-0.64839450) × cos(-0.76020452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724695097368557 × 6371000     		do = 442.634902451664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64829863-0.64839450) × cos(-0.76027399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.724647225949613 × 6371000     		du = 442.605663174441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76020452)-sin(-0.76027399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724695097368557-0.724647225949613)×R²
    abs(0.64839450-0.64829863)×4.78714189440232e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78714189440232e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78714189440232e-05×40589641000000     		ar = 195900.802679241m²