Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39525 / 42093
↖ ↑ ↗
← S 45.510196°
E 37.117309°		 ← 428.07 m → S 45.510196°
E 37.122803°		 →
↑
428.07 m
↓
↑
428.07 m
↓
S 45.514046°
E 37.117309°		 ← 428.04 m →
183 238 m²		 S 45.514046°
E 37.122803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603111267089844 y=0.642295837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603111267089844 × 216)
    floor (0.603111267089844 × 65536)
    floor (39525.5)     		tx = 39525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642295837402344 × 216)
    floor (0.642295837402344 × 65536)
    floor (42093.5)     		ty = 42093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39525 / 42093 ti = "16/39525/42093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39525/42093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39525 ÷ 216
    39525 ÷ 65536     		x = 0.603103637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42093 ÷ 216
    42093 ÷ 65536     		y = 0.642288208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603103637695312 × 2 - 1) × π
    0.206207275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64781926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642288208007812 × 2 - 1) × π
    -0.284576416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.894023177914047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64781926} λ = 0.64781926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894023177914047))-π/2
    2×atan(0.409006930574062)-π/2
    2×0.388246776936529-π/2
    0.776493553873058-1.57079632675     		φ = -0.79430277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64781926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.117309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79430277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.510196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39525 KachelY 42093 0.64781926 -0.79430277 37.117309 -45.510196
    Oben rechts KachelX + 1 39526 KachelY 42093 0.64791514 -0.79430277 37.122803 -45.510196
    Unten links KachelX 39525 KachelY + 1 42094 0.64781926 -0.79436996 37.117309 -45.514046
    Unten rechts KachelX + 1 39526 KachelY + 1 42094 0.64791514 -0.79436996 37.122803 -45.514046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79430277--0.79436996) × R
    6.71899999999948e-05 × 6371000     		dl = 428.067489999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79430277--0.79436996) × R
    6.71899999999948e-05 × 6371000     		dr = 428.067489999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64781926-0.64791514) × cos(-0.79430277) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.700782322907387 × 6371000     		do = 428.073919105534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64781926-0.64791514) × cos(-0.79436996) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.700734389647782 × 6371000     		du = 428.044639002964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79430277)-sin(-0.79436996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700782322907387-0.700734389647782)×R²
    abs(0.64791514-0.64781926)×4.79332596041715e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79332596041715e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79332596041715e-05×40589641000000     		ar = 183238.26122493m²