Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39524 / 42156
↖ ↑ ↗
← S 45.752193°
E 37.111817°		 ← 426.19 m → S 45.752193°
E 37.117309°		 →
↑
426.22 m
↓
↑
426.22 m
↓
S 45.756026°
E 37.111817°		 ← 426.16 m →
181 642 m²		 S 45.756026°
E 37.117309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603096008300781 y=0.643257141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603096008300781 × 216)
    floor (0.603096008300781 × 65536)
    floor (39524.5)     		tx = 39524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643257141113281 × 216)
    floor (0.643257141113281 × 65536)
    floor (42156.5)     		ty = 42156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39524 / 42156 ti = "16/39524/42156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39524/42156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39524 ÷ 216
    39524 ÷ 65536     		x = 0.60308837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42156 ÷ 216
    42156 ÷ 65536     		y = 0.64324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60308837890625 × 2 - 1) × π
    0.2061767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64772339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64324951171875 × 2 - 1) × π
    -0.2864990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900063227266174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64772339} λ = 0.64772339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900063227266174))-π/2
    2×atan(0.406543954265156)-π/2
    2×0.386134956330373-π/2
    0.772269912660746-1.57079632675     		φ = -0.79852641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64772339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.111817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79852641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.752193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39524 KachelY 42156 0.64772339 -0.79852641 37.111817 -45.752193
    Oben rechts KachelX + 1 39525 KachelY 42156 0.64781926 -0.79852641 37.117309 -45.752193
    Unten links KachelX 39524 KachelY + 1 42157 0.64772339 -0.79859331 37.111817 -45.756026
    Unten rechts KachelX + 1 39525 KachelY + 1 42157 0.64781926 -0.79859331 37.117309 -45.756026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79852641--0.79859331) × R
    6.68999999999809e-05 × 6371000     		dl = 426.219899999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79852641--0.79859331) × R
    6.68999999999809e-05 × 6371000     		dr = 426.219899999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64772339-0.64781926) × cos(-0.79852641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.697763041288735 × 6371000     		do = 426.185131977155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64772339-0.64781926) × cos(-0.79859331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.697715117340469 × 6371000     		du = 426.155860615664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79852641)-sin(-0.79859331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697763041288735-0.697715117340469)×R²
    abs(0.64781926-0.64772339)×4.79239482655824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79239482655824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79239482655824e-05×40589641000000     		ar = 181642.346382108m²