Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3952 / 4804
↖ ↑ ↗
← S 29.688053°
W  6.328125°		 ← 4 245.07 m → S 29.688053°
W  6.284180°		 →
↑
4 244.23 m
↓
↑
4 244.23 m
↓
S 29.726222°
W  6.328125°		 ← 4 243.45 m →
18 013 629 m²		 S 29.726222°
W  6.284180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48248291015625 y=0.58648681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48248291015625 × 213)
    floor (0.48248291015625 × 8192)
    floor (3952.5)     		tx = 3952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58648681640625 × 213)
    floor (0.58648681640625 × 8192)
    floor (4804.5)     		ty = 4804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3952 / 4804 ti = "13/3952/4804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3952/4804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3952 ÷ 213
    3952 ÷ 8192     		x = 0.482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4804 ÷ 213
    4804 ÷ 8192     		y = 0.58642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482421875 × 2 - 1) × π
    -0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58642578125 × 2 - 1) × π
    -0.1728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.543029198895996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11044662} λ = -0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543029198895996))-π/2
    2×atan(0.580985662975984)-π/2
    2×0.526321028908811-π/2
    1.05264205781762-1.57079632675     		φ = -0.51815427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51815427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.688053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3952 KachelY 4804 -0.11044662 -0.51815427 -6.328125 -29.688053
    Oben rechts KachelX + 1 3953 KachelY 4804 -0.10967963 -0.51815427 -6.284180 -29.688053
    Unten links KachelX 3952 KachelY + 1 4805 -0.11044662 -0.51882045 -6.328125 -29.726222
    Unten rechts KachelX + 1 3953 KachelY + 1 4805 -0.10967963 -0.51882045 -6.284180 -29.726222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51815427--0.51882045) × R
    0.000666179999999961 × 6371000     		dl = 4244.23277999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51815427--0.51882045) × R
    0.000666179999999961 × 6371000     		dr = 4244.23277999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11044662--0.10967963) × cos(-0.51815427) × R
    0.000766989999999995 × 0.868734807526026 × 6371000     		do = 4245.06680776534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11044662--0.10967963) × cos(-0.51882045) × R
    0.000766989999999995 × 0.868404670793415 × 6371000     		du = 4243.45359683666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51815427)-sin(-0.51882045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868734807526026-0.868404670793415)×R²
    abs(-0.10967963--0.11044662)×0.000330136732610842×R²
    0.000766989999999995×0.000330136732610842×6371000²
    0.000766989999999995×0.000330136732610842×40589641000000     		ar = 18013628.9436514m²