Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39518 / 41568
↖ ↑ ↗
← S 43.452919°
E 37.078857°		 ← 443.44 m → S 43.452919°
E 37.084351°		 →
↑
443.42 m
↓
↑
443.42 m
↓
S 43.456906°
E 37.078857°		 ← 443.41 m →
196 625 m²		 S 43.456906°
E 37.084351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603004455566406 y=0.634284973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603004455566406 × 216)
    floor (0.603004455566406 × 65536)
    floor (39518.5)     		tx = 39518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634284973144531 × 216)
    floor (0.634284973144531 × 65536)
    floor (41568.5)     		ty = 41568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39518 / 41568 ti = "16/39518/41568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39518/41568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39518 ÷ 216
    39518 ÷ 65536     		x = 0.602996826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41568 ÷ 216
    41568 ÷ 65536     		y = 0.63427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602996826171875 × 2 - 1) × π
    0.20599365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64714814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63427734375 × 2 - 1) × π
    -0.2685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64714814} λ = 0.64714814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843689433312988))-π/2
    2×atan(0.430120690836426)-π/2
    2×0.406199911258911-π/2
    0.812399822517822-1.57079632675     		φ = -0.75839650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64714814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.078857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75839650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.452919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39518 KachelY 41568 0.64714814 -0.75839650 37.078857 -43.452919
    Oben rechts KachelX + 1 39519 KachelY 41568 0.64724402 -0.75839650 37.084351 -43.452919
    Unten links KachelX 39518 KachelY + 1 41569 0.64714814 -0.75846610 37.078857 -43.456906
    Unten rechts KachelX + 1 39519 KachelY + 1 41569 0.64724402 -0.75846610 37.084351 -43.456906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75839650--0.75846610) × R
    6.9600000000003e-05 × 6371000     		dl = 443.421600000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75839650--0.75846610) × R
    6.9600000000003e-05 × 6371000     		dr = 443.421600000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64714814-0.64724402) × cos(-0.75839650) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.725939763951328 × 6371000     		do = 443.441379200742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64714814-0.64724402) × cos(-0.75846610) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.72589189421642 × 6371000     		du = 443.412137902326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75839650)-sin(-0.75846610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725939763951328-0.72589189421642)×R²
    abs(0.64724402-0.64714814)×4.78697349082235e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78697349082235e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78697349082235e-05×40589641000000     		ar = 196625.002839177m²